Trigonométrie Exemples

$f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ comme une équation.

$y = \log_{6} (2 x - 4)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \log_{6} (2 y - 4)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{6} (2 y - 4) = x$ .

$\log_{6} (2 y - 4) = x$

Étape 3.2

Réécrivez $\log_{6} (2 y - 4) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{x} = 2 y - 4$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y - 4 = 6^{x}$ .

$2 y - 4 = 6^{x}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 6^{x} + 4$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y = 6^{x} + 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 6^{x} + 4$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$y = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{6^{\log_{6} (2 x - 4)}}{2} + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Étape 5.2.3.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Divisez $x - 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (2 x - 4)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{6^{x}}{2} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2} + 2) - 4)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (2 (\frac{6^{x}}{2}) + 2 \cdot 2 - 4)$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 2 \cdot 2 - 4)$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 4 - 4)$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $6^{x} + 4 - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x} + 0)$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $6^{x}$ et $0$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = \log_{6} (6^{x})$

Étape 5.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \log_{6} (6)$

Étape 5.3.6

La base logarithmique $6$ de $6$ est $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x \cdot 1$

Étape 5.3.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{2} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$ est l’inverse de $f (x) = \log_{6} (2 x - 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{2} + 2$