Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{π}{2} - x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sin (\frac{π}{2} - y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (\frac{π}{2} - y) = x$ .

$\sin (\frac{π}{2} - y) = x$

Étape 2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{π}{2} - y = \arcsin (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 2.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\arcsin (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 2.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \arcsin (x)$ comme $- \arcsin (x)$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

Étape 2.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \arcsin (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

Étape 2.4.3.1.4

Divisez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$y = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (\frac{π}{2} - x)) + \frac{π}{2}$

Étape 4.2.3

Remettez dans l’ordre $\frac{π}{2}$ et $- x$ .

$f^{- 1} (\sin (\frac{π}{2} - x)) = - \arcsin (\sin (- x + \frac{π}{2})) + \frac{π}{2}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} - (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}))$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- - \arcsin (x)$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + 1 \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Étape 4.3.3.2.2

Multipliez $\arcsin (x)$ par $1$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.4.1

Associez les termes opposés dans $\frac{π}{2} + \arcsin (x) - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{π - π}{2} + \arcsin (x))$

Étape 4.3.4.1.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{0}{2} + \arcsin (x))$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.4.2.1

Divisez $0$ par $2$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (0 + \arcsin (x))$

Étape 4.3.4.2.2

Additionnez $0$ et $\arcsin (x)$ .

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = \sin (\arcsin (x))$

Étape 4.3.5

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (- \arcsin (x) + \frac{π}{2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (x) + \frac{π}{2}$