Trigonométrie Exemples

$y = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt{2 y + 4}}{3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez $\frac{\sqrt{2 y + 4}}{3} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{\sqrt{2 (y) + 4}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 2.3.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{2 y + 2 \cdot 2}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 2.3.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 (y + 2)}}{3} \cdot 3 = x \cdot 3$

Étape 2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 (y + 2)} = x \cdot 3$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\sqrt{2 (y + 2)} = 3 x$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (y + 2)}$ comme ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 (y + 2))}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 y + 2 \cdot 2)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(2 y + 4)}^{1} = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.2.1.3.2

Simplifiez

$2 y + 4 = {(3 x)}^{2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez ${(3 x)}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$2 y + 4 = 3^{2} x^{2}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 y + 4 = 9 x^{2}$

Étape 2.4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = 9 x^{2} - 4$

Étape 2.4.3.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 9 x^{2} - 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 9 x^{2} - 4$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 2.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 2.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x) + 4}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 2}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3})}^{2}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 (x + 2)}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2 (x + 2)}}^{2}$ comme $2 (x + 2)$ .

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Étape 4.2.3.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (x + 2)}$ comme ${(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{({(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{{(2 (x + 2))}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 4.2.3.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x) + 4}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 x + 2 \cdot 2}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{3^{2}})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{9 (\frac{2 (x + 2)}{9})}{2} - 2$

Étape 4.2.3.3

Associez $9$ et $\frac{2 (x + 2)}{9}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.4

Multipliez $9$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{18 (x + 2)}{9}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.5.1

Réduisez l’expression $\frac{18 (x + 2)}{9}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.5.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18 (x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.5.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 (1)}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.5.1.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{9 (2 (x + 2))}{9 \cdot 1}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.5.1.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{\frac{2 (x + 2)}{1}}{2} - 2$

Étape 4.2.3.5.2

Divisez $2 (x + 2)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Étape 4.2.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = \frac{2 (x + 2)}{2} - 2$

Étape 4.2.3.6.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 2 - 2$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4}}{3}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 4$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2}}{3}$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) + 2 \cdot 2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 + 2)}}{3}$

Étape 4.3.3.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} + 2)}}{3}$

Étape 4.3.3.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Étape 4.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2)}}{3}$

Étape 4.3.3.5

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.6

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.9

Réécrivez $\frac{9 x^{2} + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 2 \cdot 2}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.9.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 4 - 4}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.9.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2} + 0}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.9.4

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{2 (\frac{9 x^{2}}{2})}}{3}$

Étape 4.3.3.10

Associez $2$ et $\frac{9 x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Étape 4.3.3.11

Multipliez $2$ par $9$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{18 x^{2}}{2}}}{3}$

Étape 4.3.3.12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.12.1

Réduisez l’expression $\frac{18 x^{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.12.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18 x^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2}}}{3}$

Étape 4.3.3.12.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 (1)}}}{3}$

Étape 4.3.3.12.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{2 (9 x^{2})}{2 \cdot 1}}}{3}$

Étape 4.3.3.12.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{1}}}{3}$

Étape 4.3.3.12.2

Divisez $9 x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{9 x^{2}}}{3}$

Étape 4.3.3.13

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2}}}{3}$

Étape 4.3.3.14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{9 x^{2}}{2} - 2) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 4}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{9 x^{2}}{2} - 2$