Trigonométrie Exemples

$k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Étape 1

Écrivez $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ comme une équation.

$y = \sqrt{2 x^{2} + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{2 y^{2} + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$ .

$\sqrt{2 y^{2} + 5} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y^{2} + 5}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y^{2} + 5}$ comme ${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y^{2} + 5)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$2 y^{2} + 5 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} = x^{2} - 5$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} = x^{2} - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} = x^{2} - 5$ par $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 5}{2}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}$

Étape 3.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$

Étape 3.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{2} - \frac{5}{2}}$ .

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Étape 3.4.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$

Étape 3.4.4.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{x^{2} - 5}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.4.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{x^{2} - 5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.4.4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.4.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.4.4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} - 5} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.4.4.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.4.4.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Étape 3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Étape 3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $k^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ est l’inverse de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ et $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\sqrt{5}, \infty)$

Étape 5.3

Find the domain of the inverse.

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Étape 5.3.1

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (x^{2} - 5)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (x^{2} - 5) \geq 0$

Étape 5.3.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Simplifiez $2 (x^{2} - 5)$ .

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Étape 5.3.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 5 \geq 0$

Étape 5.3.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$2 x^{2} - 10 \geq 0$

Étape 5.3.1.2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Étape 5.3.1.2.3

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{5}$

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$

$x > \sqrt{5}$

Étape 5.3.1.2.4

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.4.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.4.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 5.3.1.2.4.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$2 ({(- 5)}^{2} - 5) \geq 0$

Étape 5.3.1.2.4.1.3

Le côté gauche $40$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3.1.2.4.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.4.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.3.1.2.4.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$2 ({(0)}^{2} - 5) \geq 0$

Étape 5.3.1.2.4.2.3

Le côté gauche $- 10$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3.1.2.4.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{5}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.4.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{5}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 5.3.1.2.4.3.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$2 ({(5)}^{2} - 5) \geq 0$

Étape 5.3.1.2.4.3.3

Le côté gauche $40$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3.1.2.4.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{5}$ Vrai

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Faux

$x > \sqrt{5}$ Vrai

$x < - \sqrt{5}$ Vrai

$- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ Faux

$x > \sqrt{5}$ Vrai

Étape 5.3.1.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \sqrt{5}$ ou $x \geq \sqrt{5}$

Étape 5.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Étape 5.3.2

Déterminez l’union de $(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty), (- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$ .

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Étape 5.3.2.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, - \sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ n’est pas égal à la plage de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ , $k^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x^{2} - 5)}}{2}$ n’est pas un inverse de $k (x) = \sqrt{2 x^{2} + 5}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6