Trigonométrie Exemples

$h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Étape 1

Écrivez $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ comme une équation.

$y = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 4 \log_{5} (y - 6) + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$ .

$4 \log_{5} (y - 6) + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 \log_{5} (y - 6) = x - 1$ par $4$ .

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \log_{5} (y - 6)}{4} = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\log_{5} (y - 6)$ par $1$ .

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 3.4

Réécrivez $\log_{5} (y - 6) = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} = y - 6$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ .

$y - 6 = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$

Étape 3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Étape 4

Remplacez $y$ par $h^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Étape 5

Vérifiez si $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ est l’inverse de $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $h^{- 1} (h (x)) = x$ et $h (h^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $h^{- 1} (h (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$h^{- 1} (h (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1)$ en remplaçant la valeur de $h$ par $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1}{4} - \frac{1}{4}} + 6$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1}{4}} + 6$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $4 \log_{5} (x - 6) + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6) + 0}{4}} + 6$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $4 \log_{5} (x - 6)$ et $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Étape 5.2.3.3

Simplifiez $4 \log_{5} (x - 6)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{\log_{5} ({(x - 6)}^{4})}{4}} + 6$

Étape 5.2.3.4

Développez $\log_{5} ({(x - 6)}^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Étape 5.2.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\frac{4 \log_{5} (x - 6)}{4}} + 6$

Étape 5.2.3.5.2

Divisez $\log_{5} (x - 6)$ par $1$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = 5^{\log_{5} (x - 6)} + 6$

Étape 5.2.3.6

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x - 6 + 6$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 6 + 6$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$h^{- 1} (4 \log_{5} (x - 6) + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $h (h^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$h (h^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6)$ en remplaçant la valeur de $h^{- 1}$ par $h$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $4 \log_{5} ((5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) - 6) + 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 0) + 1$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}$ et $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 \log_{5} (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}}) + 1$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ de l’exposant.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \log_{5} (5)) + 1$

Étape 5.3.4.2

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 ((\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 1) + 1$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $\frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ par $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

Étape 5.3.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Étape 5.3.4.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Étape 5.3.4.5.2

Réécrivez l’expression.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (- \frac{1}{4}) + 1$

Étape 5.3.4.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Étape 5.3.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 4 (\frac{- 1}{4}) + 1$

Étape 5.3.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$h (5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6) = x$

Étape 5.4

Comme $h^{- 1} (h (x)) = x$ et $h (h^{- 1} (x)) = x$ , $h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$ est l’inverse de $h (x) = 4 \log_{5} (x - 6) + 1$ .

$h^{- 1} (x) = 5^{\frac{x}{4} - \frac{1}{4}} + 6$