Trigonométrie Exemples

$g (x) = - 4 x^{2} - 8$

Étape 1

Écrivez $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ comme une équation.

$y = - 4 x^{2} - 8$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 4 y^{2} - 8$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 y^{2} - 8 = x$ .

$- 4 y^{2} - 8 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} = x + 8$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = x + 8$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 y^{2} = x + 8$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{8}{- 4}$

Étape 3.3.3.1.2

Divisez $8$ par $- 4$ .

$y^{2} = - \frac{x}{4} - 2$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{4} - 2}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{4} - 2}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{4} - 2$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4}) - 2}$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4}) - 1 (2)}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\frac{x}{4}) - 1 (2)$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + 2)}$

Étape 3.5.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4})}$

Étape 3.5.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{x}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4})}$

Étape 3.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 2 \cdot 4}{4}}$

Étape 3.5.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x + 8}{4}}$

Étape 3.5.6

Réécrivez $- \frac{x + 8}{4}$ comme ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (x + 8))$ .

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Étape 3.5.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $x + 8$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x + 8)}{4}}$

Étape 3.5.6.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x + 8)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.5.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (x + 8)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x + 8))}$

Étape 3.5.6.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (x + 8)}$

Étape 3.5.6.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x + 8)}$

Étape 3.5.6.6

Ajoutez des parenthèses.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (x + 8))}$

Étape 3.5.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (x + 8)}$

Étape 3.5.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (x + 8)}$

Étape 3.5.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{- (x + 8)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $g^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ est l’inverse de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ et $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 8]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- (x + 8)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- (x + 8) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $- (x + 8)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x - 1 \cdot 8 \geq 0$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- x - 8 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq 8$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \geq 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{8}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{8}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{8}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

Divisez $8$ par $- 1$ .

$x \leq - 8$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 8]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ se trouve sur la plage de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ et comme la plage de $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ est le domaine de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ , $g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$ est l’inverse de $g (x) = - 4 x^{2} - 8$ .

$g^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{- (x + 8)}}{2}$

Étape 6