Trigonométrie Exemples

$g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$

Étape 1

Écrivez $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ comme une équation.

$y = {(x - 2)}^{3} - 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(y - 2)}^{3} - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(y - 2)}^{3} - 1 = x$ .

${(y - 2)}^{3} - 1 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

${(y - 2)}^{3} = x + 1$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 2 = \sqrt[3]{x + 1}$

Étape 3.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[3]{x + 1} + 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $g^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$ est l’inverse de $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $g^{- 1} (g (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g^{- 1} (g (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1)$ en remplaçant la valeur de $g$ par $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} - 1) + 1} + 2$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} - 1) + 1} + 2$ .

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3} + 0} + 2$

Étape 5.2.3.2

Additionnez ${(x - 2)}^{3}$ et $0$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$g^{- 1} ({(x - 2)}^{3} - 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $g (g^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g (g^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $g (\sqrt[3]{x + 1} + 2)$ en remplaçant la valeur de $g^{- 1}$ par $g$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {((\sqrt[3]{x + 1} + 2) - 2)}^{3} - 1$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans ${((\sqrt[3]{x + 1} + 2) - 2)}^{3} - 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(\sqrt[3]{x + 1} + 0)}^{3} - 1$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\sqrt[3]{x + 1}$ et $0$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {\sqrt[3]{x + 1}}^{3} - 1$

Étape 5.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x + 1}}^{3}$ comme $x + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 1$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1$

Étape 5.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1$

Étape 5.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = {(x + 1)}^{\frac{3}{3}} - 1$

Étape 5.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = (x + 1) - 1$

Étape 5.3.4.5

Simplifiez

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x + 1 - 1$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$g (\sqrt[3]{x + 1} + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ , $g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$ est l’inverse de $g (x) = {(x - 2)}^{3} - 1$ .

$g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 1} + 2$