Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$ comme une équation.

$y = \frac{3 x}{8 + x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{3 y}{8 + y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 y}{8 + y} = x$ .

$\frac{3 y}{8 + y} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$8 + y, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$8 + y, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$8 + y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 y}{8 + y} = x$ par $8 + y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 y}{8 + y} = x$ par $8 + y$ .

$\frac{3 y}{8 + y} (8 + y) = x (8 + y)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8 + y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{8 + y} (8 + y) = x (8 + y)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y = x (8 + y)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y = x \cdot 8 + x y$

Étape 3.3.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $x$ .

$3 y = 8 x + x y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y - x y = 8 x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y - x y$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y \cdot 3 - x y = 8 x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- x y$ .

$y \cdot 3 + y (- x) = 8 x$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 3 + y (- x)$ .

$y (3 - x) = 8 x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (3 - x) = 8 x$ par $3 - x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (3 - x) = 8 x$ par $3 - x$ .

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{8 x}{3 - x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 - x)}{3 - x} = \frac{8 x}{3 - x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{8 x}{3 - x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{8 (\frac{3 x}{8 + x})}{3 - (\frac{3 x}{8 + x})}$

Étape 5.2.3

Associez $8$ et $\frac{3 x}{8 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{3 - \frac{3 x}{8 + x}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 + x}{8 + x}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x)}{8 + x} - \frac{3 x}{8 + x}}$

Étape 5.2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x) - 3 x}{8 + x}}$

Étape 5.2.4.3

Réécrivez $\frac{3 (8 + x) - 3 x}{8 + x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (8 + x) - 3 x$ .

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Étape 5.2.4.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x) + 3 (- x)}{8 + x}}$

Étape 5.2.4.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (8 + x) + 3 (- x)$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + x - x)}{8 + x}}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 (8 + 0)}{8 + x}}$

Étape 5.2.4.3.3

Additionnez $8$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{3 \cdot 8}{8 + x}}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $3$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{8 (3 x)}{8 + x}}{\frac{24}{8 + x}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $8$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{\frac{24 x}{8 + x}}{\frac{24}{8 + x}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{24 x}{8 + x} \cdot \frac{8 + x}{24}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $24$ à partir de $24 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{24 (x)}{8 + x} \cdot \frac{8 + x}{24}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{24 x}{8 + x} \cdot \frac{8 + x}{24}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{x}{8 + x} \cdot (8 + x)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $8 + x$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = \frac{x}{8 + x} \cdot (8 + x)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{8 + x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{8 x}{3 - x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{8 x}{3 - x})}{8 + \frac{8 x}{3 - x}}$

Étape 5.3.3

Associez les fractions.

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Étape 5.3.3.1

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{3 (\frac{8 x}{3 - x})}{8 + \frac{8 x}{3 - x}}$

Étape 5.3.3.2

Associez $3$ et $\frac{8 x}{3 - x}$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{8 + \frac{8 x}{3 - x}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - x}{3 - x}$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x)}{3 - x} + \frac{8 x}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x) + 8 x}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.3

Réécrivez $\frac{8 (3 - x) + 8 x}{3 - x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.3.1

Factorisez $8$ à partir de $8 (3 - x) + 8 x$ .

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Étape 5.3.4.3.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x) + 8 (x)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.3.1.2

Factorisez $8$ à partir de $8 (3 - x) + 8 (x)$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 - x + x)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 (3 + 0)}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.3.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{8 \cdot 3}{3 - x}}$

Étape 5.3.4.4

Multipliez $8$ par $3$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{3 (8 x)}{3 - x}}{\frac{24}{3 - x}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{\frac{24 x}{3 - x}}{\frac{24}{3 - x}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{24 x}{3 - x} \cdot \frac{3 - x}{24}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $24$ à partir de $24 x$ .

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{24 (x)}{3 - x} \cdot \frac{3 - x}{24}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{24 x}{3 - x} \cdot \frac{3 - x}{24}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (3 - x)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $3 - x$ .

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Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = \frac{x}{3 - x} \cdot (3 - x)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8 x}{3 - x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{3 x}{8 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x}{3 - x}$