Trigonométrie Exemples

$\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sec (\arctan (\frac{y}{3}))$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$ .

$\sec (\arctan (\frac{y}{3})) = x$

Étape 2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (\frac{y}{3})$ de l’intérieur de la sécante.

$\arctan (\frac{y}{3}) = arcsec (x)$

Étape 2.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$\frac{y}{3} = \tan (arcsec (x))$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez $\tan (arcsec (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (x)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{x^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (x))$ est $\sqrt{x^{2} - 1}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1}$

Étape 2.4.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Étape 2.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{y}{3} = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.6

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y}{3} = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3})))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) + 1) ((\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) - 1)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{3})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{3})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.5

Réécrivez $\frac{9 + x^{2}}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.5.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + 1) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{(\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{3}{3}) (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sec (\arctan (\frac{x}{3})) - 1)}$

Étape 4.2.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.10.1

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} - 1)}$

Étape 4.2.10.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{3^{2}}} - 1)}$

Étape 4.2.10.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Étape 4.2.10.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{x^{2}}{9}} - 1)}$

Étape 4.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{9 + x^{2}}{9}} - 1)}$

Étape 4.2.12

Réécrivez $\frac{9 + x^{2}}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $9 + x^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{9}} - 1)}$

Étape 4.2.12.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}} - 1)}$

Étape 4.2.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (9 + x^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (9 + x^{2})} - 1)}$

Étape 4.2.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 + x^{2}} - 1)}$

Étape 4.2.14

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1)}$

Étape 4.2.15

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Étape 4.2.16

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.16.1

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot (\frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Étape 4.2.16.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 1 \cdot 3}{3}}$

Étape 4.2.16.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3} \cdot \frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}}$

Étape 4.2.16.4

Multipliez $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} + 3}{3}$ par $\frac{\sqrt{9 + x^{2}} - 3}{3}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.16.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Étape 4.2.17

Développez $(\sqrt{9 + x^{2}} + 3) (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} (\sqrt{9 + x^{2}} - 3) + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Étape 4.2.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 (\sqrt{9 + x^{2}} - 3)}{9}}$

Étape 4.2.17.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.1

Associez les termes opposés dans $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + \sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{9 + x^{2}} \cdot - 3$ et $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} - 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.1.2

Additionnez $- 3 \sqrt{9 + x^{2}}$ et $3 \sqrt{9 + x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 0 + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.1.3

Additionnez $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.2.1

Multipliez $\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.2.1.1

Élevez $\sqrt{9 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.1.2

Élevez $\sqrt{9 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{\sqrt{9 + x^{2}} \sqrt{9 + x^{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{1 + 1} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{\sqrt{9 + x^{2}}}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.2

Réécrivez ${\sqrt{9 + x^{2}}}^{2}$ comme $9 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 + x^{2}}$ comme ${(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{({(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{{(9 + x^{2})}^{\frac{2}{2}} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{(9 + x^{2}) + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} + 3 \cdot - 3}{9}}$

Étape 4.2.18.2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{9 + x^{2} - 9}{9}}$

Étape 4.2.18.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.3.1

Associez les termes opposés dans $9 + x^{2} - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.18.3.1.1

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2} + 0}{9}}$

Étape 4.2.18.3.1.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Étape 4.2.18.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Étape 4.2.19

Réécrivez $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ comme ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Étape 4.2.20

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 4.2.21

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.21.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 4.2.21.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sec (\arctan (\frac{x}{3}))) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$

Étape 4.3.3

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{3}))$ est $\sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ comme $(x + 1) (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ comme ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + {((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3.3.2.5

Simplifiez

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + (x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.3.4

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x (x - 1) + 1 (x - 1)}$

Étape 4.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}$

Étape 4.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - x + x - 1}$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} + 0 - 1}$

Étape 4.3.5.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{1 + x^{2} - 1}$

Étape 4.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 4.3.7

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 4.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ est l’inverse de $f (x) = \sec (\arctan (\frac{x}{3}))$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$