Trigonométrie Exemples

$f (x) = 5 \sin (x + 4)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 5 \sin (x + 4)$ comme une équation.

$y = 5 \sin (x + 4)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 5 \sin (y + 4)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 \sin (y + 4) = x$ .

$5 \sin (y + 4) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $5 \sin (y + 4) = x$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $5 \sin (y + 4) = x$ par $5$ .

$\frac{5 \sin (y + 4)}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sin (y + 4)}{5} = \frac{x}{5}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (y + 4)$ par $1$ .

$\sin (y + 4) = \frac{x}{5}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y + 4 = \arcsin (\frac{x}{5})$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$ est l’inverse de $f (x) = 5 \sin (x + 4)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (5 \sin (x + 4))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x + 4)) = \arcsin (\frac{5 \sin (x + 4)}{5}) - 4$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (5 \sin (x + 4)) = \arcsin (\frac{5 \sin (x + 4)}{5}) - 4$

Étape 5.2.3.2

Divisez $\sin (x + 4)$ par $1$ .

$f^{- 1} (5 \sin (x + 4)) = \arcsin (\sin (x + 4)) - 4$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 \sin ((\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) + 4)$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) + 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 \sin (\arcsin (\frac{x}{5}) + 0)$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\arcsin (\frac{x}{5})$ et $0$ .

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 \sin (\arcsin (\frac{x}{5}))$

Étape 5.3.4

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = 5 (\frac{x}{5})$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (\frac{x}{5}) - 4) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$ est l’inverse de $f (x) = 5 \sin (x + 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x}{5}) - 4$