Trigonométrie Exemples

$f (x) = 6 x^{3} - 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 6 x^{3} - 1$ comme une équation.

$y = 6 x^{3} - 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 6 y^{3} - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $6 y^{3} - 1 = x$ .

$6 y^{3} - 1 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{3} = x + 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $6 y^{3} = x + 1$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $6 y^{3} = x + 1$ par $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{1}{6}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{1}{6}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 1}{6}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x + 1}{6}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x + 1}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1}}{\sqrt[3]{6}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 1}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 1}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt[3]{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Étape 3.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ comme $6$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6}$ comme $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Étape 3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Étape 3.5.5.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 1} \sqrt[3]{36}}{6}$

Étape 3.5.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 1) \cdot 36}}{6}$

Étape 3.5.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x + 1) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{3} - 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (6 x^{3} - 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 1) + 1)}}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $6 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $36$ par $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $216 x^{3}$ comme ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6})}^{3} - 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}^{3}}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{36 (x + 1)}}^{3}$ comme $36 (x + 1)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{36 (x + 1)}$ comme ${(36 (x + 1))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 1))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 1))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 1))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 1)}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 1)}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 1}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $36$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $36$ à partir de $36 x + 36$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Factorisez $36$ à partir de $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 36}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.4.2

Factorisez $36$ à partir de $36$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 36 (1)}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.2.4.3

Factorisez $36$ à partir de $36 (x) + 36 (1)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 1)}{6^{3}}) - 1$

Étape 5.3.3.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 1)}{216}) - 1$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 1)}{6 (36)}) - 1$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 1)}{6 \cdot 36}) - 1$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = \frac{36 (x + 1)}{36} - 1$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = \frac{36 (x + 1)}{36} - 1$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x + 1$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = x + 1 - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 6 x^{3} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 1)}}{6}$