Trigonométrie Exemples

$f (x) = \ln (x - 1)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \ln (x - 1)$ comme une équation.

$y = \ln (x - 1)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \ln (y - 1)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\ln (y - 1) = x$ .

$\ln (y - 1) = x$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{x}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (y - 1) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 1$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $y - 1 = e^{x}$ .

$y - 1 = e^{x}$

Étape 3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = e^{x} + 1$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \ln (x - 1)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\ln (x - 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

Étape 5.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x - 1 + 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 1)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (e^{x} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{x} + 1) = \ln ((e^{x} + 1) - 1)$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(e^{x} + 1) - 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (e^{x} + 1) = \ln (e^{x} + 0)$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$f (e^{x} + 1) = \ln (e^{x})$

Étape 5.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (e^{x} + 1) = x \ln (e)$

Étape 5.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{x} + 1) = x \cdot 1$

Étape 5.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (e^{x} + 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$ est l’inverse de $f (x) = \ln (x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 1$