Trigonométrie Exemples

$f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$ comme une équation.

$y = 7 \arcsin (x + 2)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 7 \arcsin (y + 2)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $7 \arcsin (y + 2) = x$ .

$7 \arcsin (y + 2) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $7 \arcsin (y + 2) = x$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $7 \arcsin (y + 2) = x$ par $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y + 2)}{7} = \frac{x}{7}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \arcsin (y + 2)}{7} = \frac{x}{7}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\arcsin (y + 2)$ par $1$ .

$\arcsin (y + 2) = \frac{x}{7}$

Étape 3.3

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$y + 2 = \sin (\frac{x}{7})$

Étape 3.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \sin (\frac{x}{7}) - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$ est l’inverse de $f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = \sin (\frac{7 \arcsin (x + 2)}{7}) - 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = \sin (\frac{7 \arcsin (x + 2)}{7}) - 2$

Étape 5.2.3.1.2

Divisez $\arcsin (x + 2)$ par $1$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = \sin (\arcsin (x + 2)) - 2$

Étape 5.2.3.2

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = x + 2 - 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (7 \arcsin (x + 2)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sin (\frac{x}{7}) - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sin (\frac{x}{7}) - 2) = 7 \arcsin ((\sin (\frac{x}{7}) - 2) + 2)$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $(\sin (\frac{x}{7}) - 2) + 2$ .

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (\sin (\frac{x}{7}) - 2) = 7 \arcsin (\sin (\frac{x}{7}) + 0)$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\sin (\frac{x}{7})$ et $0$ .

$f (\sin (\frac{x}{7}) - 2) = 7 \arcsin (\sin (\frac{x}{7}))$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$ est l’inverse de $f (x) = 7 \arcsin (x + 2)$ .

$f^{- 1} (x) = \sin (\frac{x}{7}) - 2$