Trigonométrie Exemples

$f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ comme une équation.

$y = 7 \arcsin (x^{2})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 7 \arcsin (y^{2})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $7 \arcsin (y^{2}) = x$ .

$7 \arcsin (y^{2}) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $7 \arcsin (y^{2}) = x$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $7 \arcsin (y^{2}) = x$ par $7$ .

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 \arcsin (y^{2})}{7} = \frac{x}{7}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\arcsin (y^{2})$ par $1$ .

$\arcsin (y^{2}) = \frac{x}{7}$

Étape 3.3

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$y^{2} = \sin (\frac{x}{7})$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

$y = - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ est l’inverse de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{7 π}{2}, \frac{7 π}{2}]$

Étape 5.3

Find the domain of the inverse.

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Étape 5.3.1

Déterminez le domaine de $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ .

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Étape 5.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sin (\frac{x}{7}) \geq 0$

Étape 5.3.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{7} \geq \arcsin (0)$

Étape 5.3.1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{x}{7} \geq 0$

Étape 5.3.1.2.3

Multipliez les deux côtés par $7$ .

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Étape 5.3.1.2.4

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{7} \cdot 7 \geq 0 \cdot 7$

Étape 5.3.1.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \geq 0 \cdot 7$

Étape 5.3.1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.2.4.2.1

Multipliez $0$ par $7$ .

$x \geq 0$

Étape 5.3.1.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{7} = π - 0$

Étape 5.3.1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.1.2.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Étape 5.3.1.2.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.1.2.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{x}{7} = 7 (π - 0)$

Étape 5.3.1.2.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 7 (π - 0)$

Étape 5.3.1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1.2.6.2.2.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = 7 π$

Étape 5.3.1.2.7

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{7})$ .

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Étape 5.3.1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.3.1.2.7.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{7}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{7} |}$

Étape 5.3.1.2.7.3

$\frac{1}{7}$ est d’environ $0.\overline{142857}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.1.2.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 7$

Étape 5.3.1.2.7.5

Multipliez $7$ par $2$ .

$14 π$

Étape 5.3.1.2.8

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{7})$ est $14 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $14 π$ radians dans les deux sens.

$x = 14 π n, 7 π + 14 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = 7 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.1.2.10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < 7 π$

$7 π < x < 14 π$

Étape 5.3.1.2.11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 7 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.3.1.2.11.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (\frac{2}{7}) \geq 0$

Étape 5.3.1.2.11.1.3

Le côté gauche $0.28184285$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.3.1.2.11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $7 π < x < 14 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1.2.11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $7 π < x < 14 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 24$

Étape 5.3.1.2.11.2.2

Remplacez $x$ par $24$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (\frac{24}{7}) \geq 0$

Étape 5.3.1.2.11.2.3

Le côté gauche $- 0.28305585$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3.1.2.11.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < 7 π$ Vrai

$7 π < x < 14 π$ Faux

$0 < x < 7 π$ Vrai

$7 π < x < 14 π$ Faux

Étape 5.3.1.2.12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 14 π n \leq x \leq 7 π + 14 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x = 0 + 14 π n, x = 7 π + 14 π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.2

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Étape 5.3.2.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

Aucune solution

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}, - \sqrt{\sin (\frac{x}{7})}$ n’est pas un inverse de $f (x) = 7 \arcsin (x^{2})$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6