Trigonométrie Exemples

$f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ comme une équation.

$y = 3 \cos (2 x + 3)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 \cos (2 y + 3)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 \cos (2 y + 3) = x$ .

$3 \cos (2 y + 3) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $3 \cos (2 y + 3) = x$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \cos (2 y + 3) = x$ par $3$ .

$\frac{3 \cos (2 y + 3)}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cos (2 y + 3)}{3} = \frac{x}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 y + 3)$ par $1$ .

$\cos (2 y + 3) = \frac{x}{3}$

Étape 3.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$2 y + 3 = \arccos (\frac{x}{3})$

Étape 3.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \arccos (\frac{x}{3}) - 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x + 3)}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\frac{3 \cos (2 x + 3)}{3})}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $\cos (2 x + 3)$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 \cos (2 x + 3)) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 3))}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (2 (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (- \frac{3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 2 (\frac{- 3}{2}) + 3)$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) - 3 + 3)$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $\arccos (\frac{x}{3}) - 3 + 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}) + 0)$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\arccos (\frac{x}{3})$ et $0$ .

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 \cos (\arccos (\frac{x}{3}))$

Étape 5.3.5

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = 3 (\frac{x}{3})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 3 \cos (2 x + 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (\frac{x}{3})}{2} - \frac{3}{2}$