Trigonométrie Exemples

$f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ comme une équation.

$y = 3 + \cos (\frac{x}{4})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 3 + \cos (\frac{y}{4})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$ .

$3 + \cos (\frac{y}{4}) = x$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (\frac{y}{4}) = x - 3$

Étape 3.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{y}{4} = \arccos (x - 3)$

Étape 3.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 \arccos (x - 3)$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 \arccos (x - 3)$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ est l’inverse de $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos ((3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3)$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $(3 + \cos (\frac{x}{4})) - 3$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (0 + \cos (\frac{x}{4}))$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $0$ et $\cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (3 + \cos (\frac{x}{4})) = 4 \arccos (\cos (\frac{x}{4}))$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (4 \arccos (x - 3))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\frac{4 \arccos (x - 3)}{4})$

Étape 5.3.3.1.2

Divisez $\arccos (x - 3)$ par $1$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + \cos (\arccos (x - 3))$

Étape 5.3.3.2

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (4 \arccos (x - 3)) = 3 + x - 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $3 + x - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (4 \arccos (x - 3)) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$ est l’inverse de $f (x) = 3 + \cos (\frac{x}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \arccos (x - 3)$