Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 \sin (- x + 1)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \sin (- x + 1)$ comme une équation.

$y = 2 \sin (- x + 1)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \sin (- y + 1)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (- y + 1) = x$ .

$2 \sin (- y + 1) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (- y + 1) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (- y + 1) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (- y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (- y + 1)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (- y + 1)$ par $1$ .

$\sin (- y + 1) = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$- y + 1 = \arcsin (\frac{x}{2})$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \arcsin (\frac{x}{2}) - 1$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- y = \arcsin (\frac{x}{2}) - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- y = \arcsin (\frac{x}{2}) - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \arcsin (\frac{x}{2})$ comme $- \arcsin (\frac{x}{2})$ .

$y = - \arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.5.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (- x + 1)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sin (- x + 1))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (- x + 1)) = - \arcsin (\frac{2 \sin (- x + 1)}{2}) + 1$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sin (- x + 1)) = - \arcsin (\frac{2 \sin (- x + 1)}{2}) + 1$

Étape 5.2.3.2

Divisez $\sin (- x + 1)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (- x + 1)) = - \arcsin (\sin (- x + 1)) + 1$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (- (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) + 1)$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1)$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- - \arcsin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (1 \arcsin (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1)$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $\arcsin (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1 + 1)$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 + 1)$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $\arcsin (\frac{x}{2}) - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 0)$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\arcsin (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Étape 5.3.5

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \arcsin (\frac{x}{2}) + 1) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (- x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = - \arcsin (\frac{x}{2}) + 1$