Trigonométrie Exemples

$f (x) = 10 - 6 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 10 - 6 x^{3}$ comme une équation.

$y = 10 - 6 x^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 10 - 6 y^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $10 - 6 y^{3} = x$ .

$10 - 6 y^{3} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 y^{3} = x - 10$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 6 y^{3} = x - 10$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 6 y^{3} = x - 10$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 y^{3}}{- 6} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 10}{- 6}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 y^{3}}{- 6} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 10}{- 6}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 6} + \frac{- 10}{- 6}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 10}{- 6}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $- 6$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 10$ .

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 2 (5)}{- 6}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 3}$

Étape 3.3.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = - \frac{x}{6} + \frac{5}{3}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5}{3}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5}{3}}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire $\frac{5}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.5.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{6} + \frac{5 \cdot 2}{6}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 5 \cdot 2}{6}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 10}{6}}$

Étape 3.5.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{- x + 10}{6}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$

Étape 3.5.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{- x + 10}}{\sqrt[3]{6}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.7.2

Élevez $\sqrt[3]{6}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Étape 3.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Étape 3.5.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ comme $6$ .

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Étape 3.5.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{6}$ comme $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Étape 3.5.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Étape 3.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Étape 3.5.8.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 10} \sqrt[3]{36}}{6}$

Étape 3.5.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 10) \cdot 36}}{6}$

Étape 3.5.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(- x + 10) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 10 - 6 x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (10 - 6 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- (10 - 6 x^{3}) + 10)}}{6}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- 1 \cdot 10 - (- 6 x^{3}) + 10)}}{6}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- 10 - (- 6 x^{3}) + 10)}}{6}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (- 10 + 6 x^{3} + 10)}}{6}$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $6 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $36$ par $6$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez $216 x^{3}$ comme ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Étape 5.2.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = \frac{6 x}{6}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (10 - 6 x^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6})}^{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}^{3}}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}^{3}$ comme $36 (- x + 10)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{36 (- x + 10)}$ comme ${(36 (- x + 10))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{({(36 (- x + 10))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{(36 (- x + 10))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{(36 (- x + 10))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{{(36 (- x + 10))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x) + 36 \cdot 10}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{- 36 x + 36 \cdot 10}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.4

Multipliez $36$ par $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{- 36 x + 360}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $36$ à partir de $- 36 x + 360$ .

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Étape 5.3.3.2.5.1

Factorisez $36$ à partir de $- 36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x) + 360}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Factorisez $36$ à partir de $360$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x) + 36 (10)}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.2.5.3

Factorisez $36$ à partir de $36 (- x) + 36 (10)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{6^{3}}$

Étape 5.3.3.3

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 6 \frac{36 (- x + 10)}{216}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 6 (- 1) (\frac{36 (- x + 10)}{216})$

Étape 5.3.3.4.2

Factorisez $6$ à partir de $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 6 \cdot (- 1 \frac{36 (- x + 10)}{6 \cdot 36})$

Étape 5.3.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 6 \cdot (- 1 \frac{36 (- x + 10)}{6 \cdot 36})$

Étape 5.3.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 \frac{36 (- x + 10)}{36}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 \frac{36 (- x + 10)}{36}$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $- x + 10$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 (- x + 10)$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 - 1 (- x) - 1 \cdot 10$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + 1 x - 1 \cdot 10$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + x - 1 \cdot 10$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = 10 + x - 10$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $10 + x - 10$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $10$ de $10$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 10 - 6 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (- x + 10)}}{6}$