Trigonométrie Exemples

$f (x) = 1 - x^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 1 - x^{3}$ comme une équation.

$y = 1 - x^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 1 - y^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 - y^{3} = x$ .

$1 - y^{3} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} = x - 1$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = x - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = x - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x$ comme $- x$ .

$y^{3} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{3} = - x + 1$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- x + 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 - x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- (1 - x^{3}) + 1}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 1 + x^{3} + 1}$

Étape 5.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{- 1 + x^{3} + 1}$

Étape 5.2.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Étape 5.2.6

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (1 - x^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{- x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(\sqrt[3]{- x + 1})}^{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{- x + 1}}^{3}$ comme $- x + 1$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- x + 1}$ comme ${(- x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {({(- x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - {(- x + 1)}^{\frac{3}{3}}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - (- x + 1)$

Étape 5.3.3.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 - (- x + 1)$

Étape 5.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = 1 + x - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{- x + 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{- x + 1}$