Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ comme une équation.

$y = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ .

$2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (3 y + \frac{9 π}{8})}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez $\sin (3 y + \frac{9 π}{8})$ par $1$ .

$\sin (3 y + \frac{9 π}{8}) = \frac{x}{2}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$3 y + \frac{9 π}{8} = \arcsin (\frac{x}{2})$

Étape 3.4

Soustrayez $\frac{9 π}{8}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8}$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- \frac{9 π}{8}}{3}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.5.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9 π}{8}$ dans le numérateur.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 9 π}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.5.3.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9 π$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.5.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{3 (- 3 π)}{8} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.5.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 3 π}{8}$

Étape 3.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\frac{2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $\sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})) = \frac{\arcsin (\sin (3 x + \frac{9 π}{8}))}{3} - \frac{3 π}{8}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (3 (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{3 π}{8}) + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $3 (- \frac{3 π}{8})$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - 3 \frac{3 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3.3.2

Associez $- 3$ et $\frac{3 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 3 (3 π)}{8} + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3.3.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{- 9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8})$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $\arcsin (\frac{x}{2}) - \frac{9 π}{8} + \frac{9 π}{8}$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- \frac{9 π}{8}$ et $\frac{9 π}{8}$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}) + 0)$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $\arcsin (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 \sin (\arcsin (\frac{x}{2}))$

Étape 5.3.5

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sin (3 x + \frac{9 π}{8})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{3 π}{8}$