Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 - 7 x^{3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ comme une équation.

$y = 2 - 7 x^{3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 - 7 y^{3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 - 7 y^{3} = x$ .

$2 - 7 y^{3} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 7 y^{3} = x - 2$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 7 y^{3} = x - 2$ par $- 7$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 7 y^{3} = x - 2$ par $- 7$ .

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 7$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 7 y^{3}}{- 7} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 7} + \frac{- 2}{- 7}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{- 2}{- 7}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{3} = - \frac{x}{7} + \frac{2}{7}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{x}{7} + \frac{2}{7}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{- x + 2}{7}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{- x + 2}}{\sqrt[3]{7}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt[3]{7}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Étape 3.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ comme $7$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{7}$ comme $7^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{1}}$

Étape 3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7}$

Étape 3.5.5.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x + 2} \sqrt[3]{49}}{7}$

Étape 3.5.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$

Étape 3.5.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(- x + 2) \cdot 49}}{7}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ est l’inverse de $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 - 7 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- (2 - 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 1 \cdot 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 - (- 7 x^{3}) + 2)}}{7}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (- 2 + 7 x^{3} + 2)}}{7}$

Étape 5.2.3.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 (7 x^{3} + 0)}}{7}$

Étape 5.2.3.5

Additionnez $7 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{49 \cdot (7 x^{3})}}{7}$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $49$ par $7$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{343 x^{3}}}{7}$

Étape 5.2.3.7

Réécrivez $343 x^{3}$ comme ${(7 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(7 x)}^{3}}}{7}$

Étape 5.2.3.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 - 7 x^{3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 {(\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7})}^{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}^{3}$ comme $49 (- x + 2)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{49 (- x + 2)}$ comme ${(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{({(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{{(49 (- x + 2))}^{\frac{3}{3}}}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 49 \cdot 2}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.4

Multipliez $49$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{- 49 x + 98}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.5

Factorisez $49$ à partir de $- 49 x + 98$ .

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Étape 5.3.3.2.5.1

Factorisez $49$ à partir de $- 49 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 98}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.5.2

Factorisez $49$ à partir de $98$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x) + 49 (2)}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.2.5.3

Factorisez $49$ à partir de $49 (- x) + 49 (2)$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{7^{3}}$

Étape 5.3.3.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 7 \frac{49 (- x + 2)}{343}$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 (- 1) (\frac{49 (- x + 2)}{343})$

Étape 5.3.3.4.2

Factorisez $7$ à partir de $343$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

Étape 5.3.3.4.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 7 \cdot (- 1 \frac{49 (- x + 2)}{7 \cdot 49})$

Étape 5.3.3.4.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $49$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 \frac{49 (- x + 2)}{49}$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $- x + 2$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x + 2)$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 - 1 (- x) - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = 2 + x - 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $2 + x - 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$ est l’inverse de $f (x) = 2 - 7 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{49 (- x + 2)}}{7}$