Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ comme une équation.

$y = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 + \cos (\frac{π}{2} y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$ .

$2 + \cos (\frac{π}{2} y) = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (\frac{π}{2} y) = x - 2$

Étape 3.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π}{2} y = \arccos (x - 2)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Associez $\frac{π}{2}$ et $y$ .

$\frac{π y}{2} = \arccos (x - 2)$

Étape 3.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Étape 3.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2}$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π y}{2} = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Étape 3.6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Étape 3.6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.6.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π y$ .

$\frac{1}{π} (π (y)) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Étape 3.6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π y) = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Étape 3.6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2}{π} \arccos (x - 2)$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Associez $\frac{2}{π}$ et $\arccos (x - 2)$ .

$y = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos ((2 + \cos (\frac{π}{2} x)) - 2)}{π}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Associez les termes opposés dans $2 + \cos (\frac{π}{2} x) - 2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (0 + \cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Étape 5.2.3.1.2

Additionnez $0$ et $\cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π}{2} x))}{π}$

Étape 5.2.3.2

Associez $\frac{π}{2}$ et $x$ .

$f^{- 1} (2 + \cos (\frac{π}{2} x)) = \frac{2 \arccos (\cos (\frac{π x}{2}))}{π}$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}))$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{π}{2} \cdot \frac{2 \arccos (x - 2)}{π})$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \arccos (x - 2)$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arccos (x - 2))))$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arccos (x - 2)))$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + \cos (\arccos (x - 2))$

Étape 5.3.3.3

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = 2 + x - 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $2 + x - 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{2 \arccos (x - 2)}{π}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$ est l’inverse de $f (x) = 2 + \cos (\frac{π}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \arccos (x - 2)}{π}$