Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ comme une équation.

$y = 2 e^{x - 2} + 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 e^{y - 2} + 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 e^{y - 2} + 4 = x$ .

$2 e^{y - 2} + 4 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$2 e^{y - 2} = x - 4$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 e^{y - 2} = x - 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 e^{y - 2} = x - 4$ par $2$ .

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{y - 2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $e^{y - 2}$ par $1$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $- 4$ par $2$ .

$e^{y - 2} = \frac{x}{2} - 2$

Étape 3.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y - 2}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Étape 3.5

Développez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Développez $\ln (e^{y - 2})$ en déplaçant $y - 2$ hors du logarithme.

$(y - 2) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Étape 3.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y - 2) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Étape 3.5.3

Multipliez $y - 2$ par $1$ .

$y - 2 = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

Étape 3.6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ est l’inverse de $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 e^{x - 2} + 4}{2} - 2) + 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2 e^{x - 2} + 4$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{x - 2}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 4}{2} - 2) + 2$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2}) + 2 \cdot 2}{2} - 2) + 2$

Étape 5.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e^{x - 2}) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2} - 2) + 2$

Étape 5.2.3.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 (1)} - 2) + 2$

Étape 5.2.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{2 (e^{x - 2} + 2)}{2 \cdot 1} - 2) + 2$

Étape 5.2.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (\frac{e^{x - 2} + 2}{1} - 2) + 2$

Étape 5.2.3.1.4.4

Divisez $e^{x - 2} + 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 2 - 2) + 2$

Étape 5.2.3.2

Associez les termes opposés dans $e^{x - 2} + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2} + 0) + 2$

Étape 5.2.3.2.2

Additionnez $e^{x - 2}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = \ln (e^{x - 2}) + 2$

Étape 5.2.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 2$ de l’exposant.

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \ln (e) + 2$

Étape 5.2.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = (x - 2) \cdot 1 + 2$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x - 2 + 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x - 2} + 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $2 e^{(\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) - 2} + 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2) + 0} + 4$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\ln (\frac{x}{2} - 2)$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2} - 2)} + 4$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2} - 2) + 4$

Étape 5.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot - 2 + 4$

Étape 5.3.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 2 \cdot - 2 + 4$

Étape 5.3.4.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x - 4 + 4$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 4 + 4$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2} - 2) + 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$ est l’inverse de $f (x) = 2 e^{x - 2} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2} - 2) + 2$