Trigonométrie Exemples

$y = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \arcsin (\frac{y + 3}{4})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$ .

$\arcsin (\frac{y + 3}{4}) = x$

Étape 2.2

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$\frac{y + 3}{4} = \sin (x)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction $\frac{y + 3}{4}$ en deux fractions.

$\frac{y}{4} + \frac{3}{4} = \sin (x)$

Étape 2.4

Soustrayez $\frac{3}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Étape 2.6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Étape 2.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Simplifiez $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Étape 2.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Étape 2.6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Étape 2.6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Étape 2.7

Soustrayez $\frac{3}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{4} = \sin (x) - \frac{3}{4}$

Étape 2.8

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Étape 2.9

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.9.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y}{4} = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Étape 2.9.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.2.1

Simplifiez $4 (\sin (x) - \frac{3}{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 4 \sin (x) + 4 (- \frac{3}{4})$

Étape 2.9.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.9.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Étape 2.9.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 4 \sin (x) + 4 (\frac{- 3}{4})$

Étape 2.9.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 4 \sin (x) - 3$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ est l’inverse de $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 \sin (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) - 3$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Étape 4.2.3.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Étape 4.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 3 - 3$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\arcsin (\frac{x + 3}{4})) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (4 \sin (x) - 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{(4 \sin (x) - 3) + 3}{4})$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x) + 0}{4})$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $4 \sin (x)$ et $0$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\frac{4 \sin (x)}{4})$

Étape 4.3.4.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$f (4 \sin (x) - 3) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$ est l’inverse de $f (x) = \arcsin (\frac{x + 3}{4})$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \sin (x) - 3$