Trigonométrie Exemples

$y = \log_{6} (x) - 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log_{6} (y) - 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{6} (y) - 1 = x$ .

$\log_{6} (y) - 1 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{6} (y) = x + 1$

Étape 2.3

Réécrivez $\log_{6} (y) = x + 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{x + 1} = y$

Étape 2.4

Réécrivez l’équation comme $y = 6^{x + 1}$ .

$y = 6^{x + 1}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 6^{x + 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 6^{x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{6} (x) - 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{6} (x) - 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (x) - 1) = 6^{(\log_{6} (x) - 1) + 1}$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $(\log_{6} (x) - 1) + 1$ .

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (x) - 1) = 6^{\log_{6} (x) + 0}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $\log_{6} (x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (x) - 1) = 6^{\log_{6} (x)}$

Étape 4.2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{6} (x) - 1) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (6^{x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (6^{x + 1}) = \log_{6} (6^{x + 1}) - 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x + 1$ de l’exposant.

$f (6^{x + 1}) = (x + 1) \log_{6} (6) - 1$

Étape 4.3.3.2

La base logarithmique $6$ de $6$ est $1$ .

$f (6^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f (6^{x + 1}) = x + 1 - 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (6^{x + 1}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (6^{x + 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 6^{x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{6} (x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = 6^{x + 1}$