Trigonométrie Exemples

$y = \log_{4} (4 x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log_{4} (4 y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{4} (4 y) = x$ .

$\log_{4} (4 y) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{4} (4 y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 4 y$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $4 y = 4^{x}$ .

$4 y = 4^{x}$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $4 y = 4^{x}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 4^{x}$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{4^{x}}{4}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4^{x}}{4}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4^{x}$ et $4$ .

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Étape 2.3.2.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4^{x}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4}$

Étape 2.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 (1)}$

Étape 2.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \cdot 4^{x - 1}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4^{x - 1}}{1}$

Étape 2.3.2.3.1.2.4

Divisez $4^{x - 1}$ par $1$ .

$y = 4^{x - 1}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{4} (4 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{(\log_{4} (4 x)) - 1}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\log_{4} (4 x)) = 4^{\log_{4} (4 x) - 1}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (4^{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4 (4^{x - 1}))$

Étape 4.3.3

Réécrivez $\log_{4} (4 (4^{x - 1}))$ comme $\log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + \log_{4} (4^{x - 1})$

Étape 4.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 1$ de l’exposant.

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \log_{4} (4)$

Étape 4.3.5

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + (x - 1) \cdot 1$

Étape 4.3.6

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f (4^{x - 1}) = \log_{4} (4) + x - 1$

Étape 4.3.7

La base logarithmique $4$ de $4$ est $1$ .

$f (4^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Étape 4.3.8

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 4.3.8.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (4^{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.3.8.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (4^{x - 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{4} (4 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x - 1}$