Trigonométrie Exemples

$y = \frac{2}{x - 1} + 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2}{y - 1} + 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2}{y - 1} + 1 = x$ .

$\frac{2}{y - 1} + 1 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{y - 1} = x - 1$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 1, 1, 1$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 1, 1, 1$

Étape 2.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 1$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ par $y - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{y - 1} = x - 1$ par $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - (y - 1)$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = x (y - 1) - (y - 1)$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 = x y + x \cdot - 1 - (y - 1)$

Étape 2.4.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x - (y - 1)$

Étape 2.4.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 = x y - x - (y - 1)$

Étape 2.4.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 = x y - x - y - - 1$

Étape 2.4.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 = x y - x - y + 1$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - x - y + 1 = 2$ .

$x y - x - y + 1 = 2$

Étape 2.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y - y + 1 = 2 + x$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x y - y = 2 + x - 1$

Étape 2.5.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$x y - y = x + 1$

Étape 2.5.3

Factorisez $y$ à partir de $x y - y$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x - y = x + 1$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y x + y \cdot - 1 = x + 1$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = x + 1$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x + 1$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = x + 1$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(\frac{2}{x - 1} + 1) + 1}{(\frac{2}{x - 1} + 1) - 1}$

Étape 4.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x - 1$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{2}{x - 1} + 1 + 1}{\frac{2}{x - 1} + 1 - 1}$

Étape 4.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 + 1)}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1} + 1 - 1)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 + x - 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{x + 1 + x - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.4

Additionnez $x$ et $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 1 - 1}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x + 0}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.6.6

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + (x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.7.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + (x - 1) \cdot - 1}$

Étape 4.2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 + x \cdot - 1 - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.2.7.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x - 1 \cdot - 1}$

Étape 4.2.7.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - 1 \cdot x + 1}$

Étape 4.2.7.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2 + x - 1 - x + 1}$

Étape 4.2.7.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{x + 1 - x + 1}$

Étape 4.2.7.7

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Étape 4.2.7.8

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Étape 4.2.7.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1} + 1) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x + 1}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{(\frac{x + 1}{x - 1}) - 1} + 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} - 1 \cdot \frac{x - 1}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{- (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.4

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{x + 1 - x + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{0 + 1 + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{1 + 1}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Étape 4.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Étape 4.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 1}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2}{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$