Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{x - 2} - 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{y - 2} - 3$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{y - 2} - 3 = x$ .

$\frac{1}{y - 2} - 3 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{y - 2} = x + 3$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 2, 1, 1$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 2, 1, 1$

Étape 2.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 2$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{y - 2} = x + 3$ par $y - 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{y - 2} = x + 3$ par $y - 2$ .

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 2} (y - 2) = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Étape 2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x (y - 2) + 3 (y - 2)$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x y + x \cdot - 2 + 3 (y - 2)$

Étape 2.4.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$1 = x y - 2 \cdot x + 3 (y - 2)$

Étape 2.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = x y - 2 x + 3 y + 3 \cdot - 2$

Étape 2.4.3.1.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$1 = x y - 2 x + 3 y - 6$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - 2 x + 3 y - 6 = 1$ .

$x y - 2 x + 3 y - 6 = 1$

Étape 2.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y + 3 y - 6 = 1 + 2 x$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x y + 3 y = 1 + 2 x + 6$

Étape 2.5.2.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$x y + 3 y = 2 x + 7$

Étape 2.5.3

Factorisez $y$ à partir de $x y + 3 y$ .

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Étape 2.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x + 3 y = 2 x + 7$

Étape 2.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y x + y \cdot 3 = 2 x + 7$

Étape 2.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 3$ .

$y (x + 3) = 2 x + 7$

Étape 2.5.4

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) = 2 x + 7$ par $x + 3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) = 2 x + 7$ par $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{x + 3} + \frac{7}{x + 3}$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x + 7}{x + 3}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x - 2} - 3$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{(\frac{1}{x - 2} - 3) + 3}$

Étape 4.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{\frac{1}{x - 2} - 3 + 3}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7}{\frac{1}{x - 2} - 3 + 3}$

Étape 4.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7)}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2} - 3 + 3)}$

Étape 4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{(x - 2) (\frac{1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + (x - 2) \cdot 7$ .

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Étape 4.2.6.1.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 2 (\frac{1}{x - 2} - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) \cdot 7}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.1.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) \cdot 7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) (7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.1.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3)) + (x - 2) (7)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.3

Associez $- 3$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 (x - 2)}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 x - 3 \cdot - 2}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.5.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{1 - 3 x + 6}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.5.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (2 (\frac{- 3 x + 7}{x - 2}) + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.6

Associez $2$ et $\frac{- 3 x + 7}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7)}{x - 2} + 7)}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.7

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7)}{x - 2} + \frac{7 (x - 2)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{2 (- 3 x + 7) + 7 (x - 2)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 (x - 2) + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10

Réécrivez $\frac{7 (x - 2) + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 7 \cdot - 2 + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.2

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 + 2 (- 3 x + 7)}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 + 2 (- 3 x) + 2 \cdot 7}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 - 6 x + 2 \cdot 7}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x - 14 - 6 x + 14}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.6

Soustrayez $6 x$ de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 14 + 14}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.7

Additionnez $- 14$ et $14$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 0}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.6.10.8

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 + (x - 2) \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.7.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.7.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 \cdot x + 6 + (x - 2) \cdot 3}$

Étape 4.2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + x \cdot 3 - 2 \cdot 3}$

Étape 4.2.7.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + 3 \cdot x - 2 \cdot 3}$

Étape 4.2.7.6

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1 - 3 x + 6 + 3 \cdot x - 6}$

Étape 4.2.7.7

Additionnez $1$ et $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{- 3 x + 7 + 3 x - 6}$

Étape 4.2.7.8

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{0 + 7 - 6}$

Étape 4.2.7.9

Additionnez $0$ et $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{7 - 6}$

Étape 4.2.7.10

Soustrayez $6$ de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = \frac{(x - 2) (\frac{x}{x - 2})}{1}$

Étape 4.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.8.1

Divisez $(x - 2) \frac{x}{x - 2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Étape 4.2.8.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 4.2.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = (x - 2) (\frac{x}{x - 2})$

Étape 4.2.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{x - 2} - 3) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{2 x + 7}{x + 3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{(\frac{2 x + 7}{x + 3}) - 2} - 3$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7}{x + 3} - 2 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7}{x + 3} + \frac{- 2 (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.4

Réécrivez $\frac{2 x + 7 - 2 (x + 3)}{x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 4.3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 x - 2 \cdot 3}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{2 x + 7 - 2 x - 6}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.4.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{0 + 7 - 6}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.4.4

Additionnez $0$ et $7$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{7 - 6}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.1.4.5

Soustrayez $6$ de $7$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = \frac{1}{\frac{1}{x + 3}} - 3$

Étape 4.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = 1 (x + 3) - 3$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{2 x + 7}{x + 3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{x - 2} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 7}{x + 3}$