Trigonométrie Exemples

$y = \log_{2} (2 x - 3)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \log_{2} (2 y - 3)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\log_{2} (2 y - 3) = x$ .

$\log_{2} (2 y - 3) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{2} (2 y - 3) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 2 y - 3$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y - 3 = 2^{x}$ .

$2 y - 3 = 2^{x}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 2^{x} + 3$

Étape 2.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y = 2^{x} + 3$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 2^{x} + 3$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2^{x}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $2^{x}$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{x}$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 (1)} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 \cdot 2^{x - 1}}{2 \cdot 1} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2^{x - 1}}{1} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.1.2.4

Divisez $2^{x - 1}$ par $1$ .

$y = 2^{x - 1} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.2

Pour écrire $2^{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 2^{x - 1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.3

Associez $2^{x - 1}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2 + 3}{2}$

Étape 2.3.3.3.5

Multipliez $2^{x - 1}$ par $2$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.5.1

Multipliez $2^{x - 1}$ par $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2^{x - 1} \cdot 2^{1} + 3}{2}$

Étape 2.3.3.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2^{x - 1 + 1} + 3}{2}$

Étape 2.3.3.3.5.2

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.3.5.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$y = \frac{2^{x + 0} + 3}{2}$

Étape 2.3.3.3.5.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2^{\log_{2} (2 x - 3)} + 3}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\log_{2} (2 x - 3)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{2^{x} + 3}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2 (\frac{2^{x} + 3}{2}) - 3)$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 3 - 3)$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $2^{x} + 3 - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x} + 0)$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $2^{x}$ et $0$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = \log_{2} (2^{x})$

Étape 4.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \log_{2} (2)$

Étape 4.3.6

La base logarithmique $2$ de $2$ est $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x \cdot 1$

Étape 4.3.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{2^{x} + 3}{2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \log_{2} (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{x} + 3}{2}$