Trigonométrie Exemples

$x = - 3 \cos (2 y)$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \cos (2 y) = x$ .

$- 3 \cos (2 y) = x$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos (2 y) = x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \cos (2 y) = x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \cos (2 y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\cos (2 y)$ par $1$ .

$\cos (2 y) = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (2 y) = - \frac{x}{3}$

Étape 3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \arccos (- \frac{x}{3})$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$

Étape 5

Interchangez les variables.

$x = \frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2}$

Étape 6

Résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$ .

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} = x$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arccos (- \frac{y}{3})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\arccos (- \frac{y}{3}) = x \cdot 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\arccos (- \frac{y}{3}) = 2 x$

Étape 6.4

Résolvez $y$ .

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Étape 6.4.1

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$- \frac{y}{3} = \cos (2 x)$

Étape 6.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{y}{3}) = - 3 \cos (2 x)$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.3.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{y}{3})$ .

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Étape 6.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Étape 6.4.3.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Étape 6.4.3.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- y}{3} = - 3 \cos (2 x)$

Étape 6.4.3.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 3 \cos (2 x)$

Étape 6.4.3.1.2

Multipliez.

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Étape 6.4.3.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 3 \cos (2 x)$

Étape 6.4.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 3 \cos (2 x)$

Étape 7

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$

Étape 8

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ .

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Étape 8.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 8.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 8.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 8.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

Étape 8.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (2 (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}))$

Étape 8.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \cos (\arccos (- \frac{x}{3}))$

Étape 8.2.4

Les fonctions cosinus et arc cosinus sont inverses.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{3}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 3 \frac{- x}{3}$

Étape 8.2.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Étape 8.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Étape 8.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = - 1 (- x)$

Étape 8.2.6

Multipliez.

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Étape 8.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = 1 x$

Étape 8.2.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}) = x$

Étape 8.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 8.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 8.3.2

Évaluez $f (- 3 \cos (2 x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 3 \cos (2 x)}{3})}{2}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \cos (2 x)$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3})}{2}$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 (1)})}{2}$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{3 (- \cos (2 x))}{3 \cdot 1})}{2}$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (2 x)}{1})}{2}$

Étape 8.3.3.2.4

Divisez $- \cos (2 x)$ par $1$ .

$f (- 3 \cos (2 x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Étape 8.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{3})}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - 3 \cos (2 x)$