Trigonométrie Exemples

$y = {(x - 1)}^{3} + 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = {(y - 1)}^{3} + 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme ${(y - 1)}^{3} + 1 = x$ .

${(y - 1)}^{3} + 1 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

${(y - 1)}^{3} = x - 1$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y - 1 = \sqrt[3]{x - 1}$

Étape 2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt[3]{x - 1} + 1$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$ est l’inverse de $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = \sqrt[3]{({(x - 1)}^{3} + 1) - 1} + 1$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $\sqrt[3]{({(x - 1)}^{3} + 1) - 1} + 1$ .

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3} + 0} + 1$

Étape 4.2.3.2

Additionnez ${(x - 1)}^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = \sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} + 1$

Étape 4.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = x - 1 + 1$

Étape 4.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = x + 0$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 1)}^{3} + 1) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\sqrt[3]{x - 1} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {((\sqrt[3]{x - 1} + 1) - 1)}^{3} + 1$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans ${((\sqrt[3]{x - 1} + 1) - 1)}^{3} + 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(\sqrt[3]{x - 1} + 0)}^{3} + 1$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\sqrt[3]{x - 1}$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {\sqrt[3]{x - 1}}^{3} + 1$

Étape 4.3.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 1}}^{3}$ comme $x - 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1$

Étape 4.3.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1$

Étape 4.3.4.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1$

Étape 4.3.4.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = {(x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1$

Étape 4.3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = (x - 1) + 1$

Étape 4.3.4.5

Simplifiez

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = x - 1 + 1$

Étape 4.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = x + 0$

Étape 4.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 1} + 1) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$ est l’inverse de $f (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1$