Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{3^{x}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{3^{y}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3^{y}} = x$ .

$\frac{1}{3^{y}} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés par $3^{y}$ .

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $3^{y}$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3^{y}} \cdot 3^{y} = x \cdot 3^{y}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = x \cdot 3^{y}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’équation comme $x \cdot 3^{y} = 1$ .

$x \cdot 3^{y} = 1$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $x \cdot 3^{y} = 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 3^{y} = 1$ par $x$ .

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 3^{y}}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $3^{y}$ par $1$ .

$3^{y} = \frac{1}{x}$

Étape 2.4.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{1}{x})$

Étape 2.4.4

Développez $\ln (3^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$

Étape 2.4.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 2.4.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (3) = \ln (\frac{1}{x})$ par $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Étape 2.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 2.4.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Étape 2.4.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (\frac{1}{\frac{1}{3^{x}}})}{\ln (3)}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (1 \cdot 3^{x})}{\ln (3)}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $3^{x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Étape 4.2.4

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 4.2.5.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3^{x}}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{3^{\log_{3} (\frac{1}{x})}}$

Étape 4.3.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = 1 x$

Étape 4.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{1}{x})}{\ln (3)}$