Trigonométrie Exemples

$y = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{3})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{3}) = x$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{y}{3}) = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 5$ .

$- 5 (- \frac{1}{5} \sin (\frac{y}{3})) = - 5 x$

Étape 2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 5 (- \frac{1}{5} \sin (\frac{y}{3}))$ .

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Étape 2.3.1.1

Associez $\sin (\frac{y}{3})$ et $\frac{1}{5}$ .

$- 5 (- \frac{\sin (\frac{y}{3})}{5}) = - 5 x$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (\frac{y}{3})}{5}$ dans le numérateur.

$- 5 \frac{- \sin (\frac{y}{3})}{5} = - 5 x$

Étape 2.3.1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- \sin (\frac{y}{3})}{5} = - 5 x$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot - 1 \frac{- \sin (\frac{y}{3})}{5} = - 5 x$

Étape 2.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \sin (\frac{y}{3}) = - 5 x$

Étape 2.3.1.3

Multipliez.

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Étape 2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sin (\frac{y}{3}) = - 5 x$

Étape 2.3.1.3.2

Multipliez $\sin (\frac{y}{3})$ par $1$ .

$\sin (\frac{y}{3}) = - 5 x$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{y}{3} = \arcsin (- 5 x)$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \arcsin (- 5 x)$

Étape 2.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y}{3} = 3 \arcsin (- 5 x)$

Étape 2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \arcsin (- 5 x)$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 3 \arcsin (- 5 x)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 3 \arcsin (- 5 x)$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (- 5 (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})))$

Étape 4.2.3

Associez $\sin (\frac{x}{3})$ et $\frac{1}{5}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (- 5 (- \frac{\sin (\frac{x}{3})}{5}))$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (\frac{x}{3})}{5}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (- 5 \frac{- \sin (\frac{x}{3})}{5})$

Étape 4.2.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (5 (- 1) (\frac{- \sin (\frac{x}{3})}{5}))$

Étape 4.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (5 \cdot (- 1 \frac{- \sin (\frac{x}{3})}{5}))$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (- 1 (- \sin (\frac{x}{3})))$

Étape 4.2.5

Multipliez.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (1 \sin (\frac{x}{3}))$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $\sin (\frac{x}{3})$ par $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})) = 3 \arcsin (\sin (\frac{x}{3}))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (3 \arcsin (- 5 x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{3 \arcsin (- 5 x)}{3})$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{3 \arcsin (- 5 x)}{3})$

Étape 4.3.3.2

Divisez $\arcsin (- 5 x)$ par $1$ .

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\arcsin (- 5 x))$

Étape 4.3.4

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = - \frac{1}{5} \cdot (- 5 x)$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{5}$ dans le numérateur.

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (- 5 x)$

Étape 4.3.5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x$ .

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x))$

Étape 4.3.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = \frac{- 1}{5} \cdot (5 (- x))$

Étape 4.3.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = - 1 \cdot (- x)$

Étape 4.3.6

Multipliez.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = 1 \cdot x$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (3 \arcsin (- 5 x)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 3 \arcsin (- 5 x)$ est l’inverse de $f (x) = - \frac{1}{5} \cdot \sin (\frac{x}{3})$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \arcsin (- 5 x)$