Trigonométrie Exemples

$y = \frac{1}{4} x^{2} - 3$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{4} y^{2} - 3$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{4} y^{2} - 3 = x$ .

$\frac{1}{4} y^{2} - 3 = x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - 3 = x$

Étape 2.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{4} = x + 3$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (x + 3)$

Étape 2.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (x + 3)$

Étape 2.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 4 (x + 3)$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez $4 (x + 3)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 4 x + 4 \cdot 3$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y^{2} = 4 x + 12$

Étape 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 x + 12}$

Étape 2.7

Simplifiez $\pm \sqrt{4 x + 12}$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 12$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{4 (x) + 12}$

Étape 2.7.1.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \pm \sqrt{4 x + 4 \cdot 3}$

Étape 2.7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{4 (x + 3)}$

Étape 2.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} (x + 3)}$

Étape 2.7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm 2 \sqrt{x + 3}$

Étape 2.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

Étape 2.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

Étape 2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

$y = 2 \sqrt{x + 3}$

$y = - 2 \sqrt{x + 3}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ et $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 3, \infty)$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $2 \sqrt{x + 3}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 3}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 3 \geq 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 3$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 3, \infty)$

Étape 4.4

Déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

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Étape 4.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ est le domaine de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ , $f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \sqrt{x + 3}, - 2 \sqrt{x + 3}$

Étape 5