Trigonométrie Exemples

$\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ .

$\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ par $\sqrt{\frac{3}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}} = x$ par $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (y) \sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sin (y)$ par $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$

Étape 2.2.3.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Étape 2.2.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Étape 2.2.3.1.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Étape 2.2.3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Étape 2.2.3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 2.2.3.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.3.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 2.2.3.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 2.2.3.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 2.2.3.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 2.2.3.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}}$

Étape 2.2.3.1.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 2.2.3.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}}$

Étape 2.2.3.1.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sin (y) = \frac{x}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (y) = x \frac{2}{\sqrt{6}}$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (y) = x (\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 2.2.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 2.2.3.4.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 2.2.3.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 2.2.3.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 2.2.3.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 2.2.3.4.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 2.2.3.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.3.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.3.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.3.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 2.2.3.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Étape 2.2.3.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{6}$ .

$\sin (y) = x \frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Étape 2.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) = x \frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = x \frac{\sqrt{6}}{3}$

Étape 2.2.3.6

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$\sin (y) = \frac{x \sqrt{6}}{3}$

Étape 2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ est l’inverse de $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{(\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) \sqrt{6}}{3})$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{6 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 4.2.3.2

Associez $6$ et $\frac{3}{2}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{6 \cdot 3}{2}}}{3})$

Étape 4.2.4

Multipliez $6$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{\frac{18}{2}}}{3})$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Divisez $18$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{9}}{3})$

Étape 4.2.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \sqrt{3^{2}}}{3})$

Étape 4.2.5.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

Étape 4.2.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\frac{\sin (x) \cdot 3}{3})$

Étape 4.2.6.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \sin (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3.3

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}$

Étape 4.3.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.3.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.3.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.3.6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$

Étape 4.3.8

Multipliez $\frac{x \sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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Étape 4.3.8.1

Multipliez $\frac{x \sqrt{6}}{3}$ par $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 2}$

Étape 4.3.8.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Étape 4.3.8.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x (\sqrt{6} \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Étape 4.3.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3 \cdot 2}$

Étape 4.3.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{3 \cdot 2}$

Étape 4.3.8.6

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {\sqrt{6}}^{2}}{6}$

Étape 4.3.9

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 4.3.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 4.3.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 4.3.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 4.3.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 4.3.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Étape 4.3.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Étape 4.3.10

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 4.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = \frac{x \cdot 6}{6}$

Étape 4.3.10.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$ est l’inverse de $f (x) = \sin (x) \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\frac{x \sqrt{6}}{3})$