Trigonométrie Exemples

$\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$ .

$\frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = x$

Étape 2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (y) \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sin (y) \sqrt{2}) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 2.3.1.1.2.1

Factorisez $\sqrt{2}$ à partir de $\sin (y) \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sin (y)) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\frac{2}{\sqrt{2}} x$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} x$

Étape 2.3.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} x$

Étape 2.3.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} x$

Étape 2.3.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} x$

Étape 2.3.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} x$

Étape 2.3.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} x$

Étape 2.3.2.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.3.2.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} x$

Étape 2.3.2.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x$

Étape 2.3.2.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

Étape 2.3.2.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} x$

Étape 2.3.2.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} x$

Étape 2.3.2.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (y) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} x$

Étape 2.3.2.1.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sin (y) = \sqrt{2} x$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (\sqrt{2} x)$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}))$

Étape 4.2.3

Multipliez $\sqrt{2} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 4.2.3.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} (\sin (x) \sqrt{2})}{2})$

Étape 4.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{\sqrt{2}}^{2} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2^{\frac{2}{2}} \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\frac{2 \sin (x)}{2})$

Étape 4.2.5.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}) = \arcsin (\sin (x))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\arcsin (\sqrt{2} x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sin (\arcsin (\sqrt{2} x)) \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{\sqrt{2} x \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.3.3.2

Associez les exposants.

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Étape 4.3.3.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.3.3.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Étape 4.3.3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Étape 4.3.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Étape 4.3.3.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Étape 4.3.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 4.3.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 4.3.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Étape 4.3.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = \frac{x \cdot 2}{2}$

Étape 4.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\arcsin (\sqrt{2} x)) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (\sqrt{2} x)$