Trigonométrie Exemples

$\tan (- \frac{5 x}{6})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \tan (- \frac{5 y}{6})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$ .

$\tan (- \frac{5 y}{6}) = x$

Étape 2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$- \frac{5 y}{6} = \arctan (x)$

Étape 2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1.1

Simplifiez $- \frac{6}{5} (- \frac{5 y}{6})$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6}{5}$ dans le numérateur.

$\frac{- 6}{5} (- \frac{5 y}{6}) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 y}{6}$ dans le numérateur.

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\frac{6 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{6} = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.4.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 y$ .

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.3

Multipliez.

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Étape 2.4.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.1.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - \frac{6}{5} \arctan (x)$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $- \frac{6}{5} \arctan (x)$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Associez $\arctan (x)$ et $\frac{6}{5}$ .

$y = - \frac{\arctan (x) \cdot 6}{5}$

Étape 2.4.2.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $\arctan (x)$ .

$y = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6}))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (\tan (- \frac{5 x}{6}))}{5}$

Étape 4.2.3

Comme $\tan (- \frac{5 x}{6})$ est une fonction impaire, réécrivez $\tan (- \frac{5 x}{6})$ comme $- \tan (\frac{5 x}{6})$ .

$f^{- 1} (\tan (- \frac{5 x}{6})) = - \frac{6 \arctan (- \tan (\frac{5 x}{6}))}{5}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{6 \arctan (x)}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{5 (- \frac{6 \arctan (x)}{5})}{6})$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 5 \frac{6 \arctan (x)}{5}}{6})$

Étape 4.3.3.2

Associez $- 5$ et $\frac{6 \arctan (x)}{5}$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 5 (6 \arctan (x))}{5}}{6})$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 30 \arctan (x)}{5}}{6})$

Étape 4.3.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.1

Réduisez l’expression $\frac{- 30 \arctan (x)}{5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $- 30 \arctan (x)$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5}}{6})$

Étape 4.3.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 (1)}}{6})$

Étape 4.3.5.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{5 (- 6 \arctan (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

Étape 4.3.5.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{\frac{- 6 \arctan (x)}{1}}{6})$

Étape 4.3.5.2

Divisez $- 6 \arctan (x)$ par $1$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- 6 \arctan (x)}{6})$

Étape 4.3.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \arctan (x)$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6})$

Étape 4.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 (1)})$

Étape 4.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{6 (- \arctan (x))}{6 \cdot 1})$

Étape 4.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (- \frac{- \arctan (x)}{1})$

Étape 4.3.6.2.4

Divisez $- \arctan (x)$ par $1$ .

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = \tan (\arctan (x))$

Étape 4.3.7

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (- \frac{6 \arctan (x)}{5}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$ est l’inverse de $f (x) = \tan (- \frac{5 x}{6})$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{6 \arctan (x)}{5}$