Trigonométrie Exemples

$x = y^{2} - 2 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 2 y = x$ .

$y^{2} - 2 y = x$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $4 (1 + x)$ comme $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $4 (1 + x)$ comme $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $4 (1 + x)$ comme $2^{2} (1^{2} + x)$ .

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Étape 7.1.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Étape 9

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}, x = 1 - \sqrt{1 + y}$

Étape 10

Résolvez $y$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

Étape 10.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 10.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 10.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + y}$ comme ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 10.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Simplifiez

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.4.3.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 10.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

Étape 10.4.3.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 10.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 10.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 10.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 10.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 10.4.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 10.4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 10.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

Étape 10.4.3.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 10.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Étape 10.5.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Étape 10.5.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

Étape 10.5.2.2

Additionnez $x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

Étape 11

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Étape 12

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 12.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ et $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ puis comparez-les.

Étape 12.2

Déterminez la plage de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 12.2.1

Déterminez la plage de $1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 12.2.1.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[1, \infty)$

Étape 12.2.2

Déterminez la plage de $1 - \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 12.2.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 1]$

Étape 12.2.3

Déterminez l’union de $[1, \infty), (- \infty, 1]$ .

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Étape 12.2.3.1

L’union se compose de tous les éléments contenus dans chaque intervalle.

$(- \infty, \infty)$

Étape 12.3

Déterminez le domaine de $1 + \sqrt{1 + x}$ .

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Étape 12.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 + x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 + x \geq 0$

Étape 12.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 12.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 12.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ se trouve sur la plage de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ est le domaine de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ est l’inverse de $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

Étape 13