Trigonométrie Exemples

$x (x) = \sqrt{x + 1}$

Étape 1

Écrivez $x (x) = \sqrt{x + 1}$ comme une équation.

$y = \sqrt{x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{y + 1} = x$ .

$\sqrt{y + 1} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 1}$ comme ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 1)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$y + 1 = x^{2}$

Étape 3.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 1$

Étape 4

Replace $y$ with $x^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$x^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Étape 5

Vérifiez si $x^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ est l’inverse de $x (x) = \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $x^{- 1} (x (x)) = x$ et $x (x^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $x^{- 1} (x (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$x^{- 1} (x (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $x^{- 1} (\sqrt{x + 1})$ en remplaçant la valeur de $x$ par $x^{- 1}$ .

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(\sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Étape 5.2.3

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Étape 5.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Étape 5.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$x^{- 1} (\sqrt{x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $x (x^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$x (x^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $x (x^{2} - 1)$ en remplaçant la valeur de $x^{- 1}$ par $x$ .

$x (x^{2} - 1) = \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$x (x^{2} - 1) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 5.3.4

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x (x^{2} - 1) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x (x^{2} - 1) = x$

Étape 5.4

Comme $x^{- 1} (x (x)) = x$ et $x (x^{- 1} (x)) = x$ , $x^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ est l’inverse de $x (x) = \sqrt{x + 1}$ .

$x^{- 1} (x) = x^{2} - 1$