Trigonométrie Exemples

$y = 2 \ln (x - 5)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 \ln (y - 5)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \ln (y - 5) = x$ .

$2 \ln (y - 5) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 \ln (y - 5) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (y - 5) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (y - 5)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\ln (y - 5)$ par $1$ .

$\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y - 5)} = e^{\frac{x}{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\ln (y - 5) = \frac{x}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{x}{2}} = y - 5$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$ .

$y - 5 = e^{\frac{x}{2}}$

Étape 2.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ est l’inverse de $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \ln (x - 5))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\frac{2 \ln (x - 5)}{2}} + 5$

Étape 4.2.3.1.2

Divisez $\ln (x - 5)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = e^{\ln (x - 5)} + 5$

Étape 4.2.3.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x - 5 + 5$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \ln (x - 5)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (e^{\frac{x}{2}} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln ((e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5)$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(e^{\frac{x}{2}} + 5) - 5$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}} + 0)$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $e^{\frac{x}{2}}$ et $0$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

Étape 4.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\frac{x}{2}$ de l’exposant.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Étape 4.3.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

Étape 4.3.6

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $1$ .

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (e^{\frac{x}{2}} + 5) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$ est l’inverse de $f (x) = 2 \ln (x - 5)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\frac{x}{2}} + 5$