Trigonométrie Exemples

$y = 2 \arcsin (3 x + 7)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 2 \arcsin (3 y + 7)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ .

$2 \arcsin (3 y + 7) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \arcsin (3 y + 7) = x$ par $2$ .

$\frac{2 \arcsin (3 y + 7)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \arcsin (3 y + 7)}{2} = \frac{x}{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\arcsin (3 y + 7)$ par $1$ .

$\arcsin (3 y + 7) = \frac{x}{2}$

Étape 2.3

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$3 y + 7 = \sin (\frac{x}{2})$

Étape 2.4

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \sin (\frac{x}{2}) - 7$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} + \frac{- 7}{3}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \arcsin (3 x + 7)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2})}{3} - \frac{7}{3}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2}) - 7}{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\frac{2 \arcsin (3 x + 7)}{2}) - 7}{3}$

Étape 4.2.4.1.2

Divisez $\arcsin (3 x + 7)$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{\sin (\arcsin (3 x + 7)) - 7}{3}$

Étape 4.2.4.2

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x + 7 - 7}{3}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x + 7 - 7$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 4.2.5.1.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = \frac{3 x}{3}$

Étape 4.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \arcsin (3 x + 7)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) + 7)$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (3 (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (- \frac{7}{3}) + 7)$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 7)$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 3 (\frac{- 7}{3}) + 7)$

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) - 7 + 7)$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $\sin (\frac{x}{2}) - 7 + 7$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}) + 0)$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $\sin (\frac{x}{2})$ et $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \arcsin (3 x + 7)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{3} - \frac{7}{3}$