Trigonométrie Exemples

$y = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 1 - 2 \sin^{2} (6 y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $1 - 2 \sin^{2} (6 y) = x$ .

$1 - 2 \sin^{2} (6 y) = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin^{2} (6 y) = x - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (6 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin^{2} (6 y)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (6 y)$ par $1$ .

$\sin^{2} (6 y) = \frac{x}{- 2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin^{2} (6 y) = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin^{2} (6 y) = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (6 y) = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (6 y) = \pm \sqrt{\frac{- x + 1}{2}}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{- x + 1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x + 1}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{- x + 1} \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{(- x + 1) \cdot 2}}{2}$

Étape 2.5.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- x + 1) \cdot 2}}{2}$ .

$\sin (6 y) = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Étape 2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $y$ .

$\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

$\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$

Étape 2.8

Résolvez $y$ dans $\sin (6 y) = \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$ .

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Étape 2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$

Étape 2.8.2

Divisez chaque terme dans $6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y = \arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 2.8.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 2.9

Résolvez $y$ dans $\sin (6 y) = - \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2}$ .

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Étape 2.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$

Étape 2.9.2

Divisez chaque terme dans $6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.9.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y = \arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 2.9.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 2.10

Indiquez toutes les solutions.

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

$y = \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ est l’inverse de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[1, 3]$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (- x + 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 1) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 1) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.2.1.2

Divisez $- x + 1$ par $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 4.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.3

Définissez l’argument dans $\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ supérieur ou égal à $- 1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \geq - 1$

Étape 4.3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \geq - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

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Étape 4.3.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \geq - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 (- x + 1)} \geq - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{2 (- x + 1)} \geq - 2$

Étape 4.3.4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{2 (- x + 1)}}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 4.3.4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (- x + 1)}$ comme ${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.4.3.2.2.1

Simplifiez ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.4.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.4.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 (- x + 1))}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 (- x) + 2 \cdot 1)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.3

Multipliez.

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Étape 4.3.4.3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(- 2 x + 2 \cdot 1)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.2.2.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

${(- 2 x + 2)}^{1} \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.2.1.3.2.2

Simplifiez

$- 2 x + 2 \geq {(- 2)}^{2}$

Étape 4.3.4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.3.2.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 2 x + 2 \geq 4$

Étape 4.3.4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.3.4.3.3.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x \geq 4 - 2$

Étape 4.3.4.3.3.1.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- 2 x \geq 2$

Étape 4.3.4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.3.4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \geq 2$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{2}{- 2}$

Étape 4.3.4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.4.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{2}{- 2}$

Étape 4.3.4.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 2}$

Étape 4.3.4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.3.3.2.3.1

Divisez $2$ par $- 2$ .

$x \leq - 1$

Étape 4.3.4.4

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{2 (- x + 1)} + 2}{2}$ .

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Étape 4.3.4.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (- x + 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Étape 4.3.4.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 1) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 1) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.4.2.1.2.1.2

Divisez $- x + 1$ par $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.4.4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Étape 4.3.4.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 4.3.4.4.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.4.4.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.4.4.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.4.4.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.4.4.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.4.4.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.4.4.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.4.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 4.3.4.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 4.3.4.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.3.4.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.3.4.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sqrt{2 (- (- 4) + 1)}}{2} \geq - 1$

Étape 4.3.4.6.1.3

Le côté gauche $1.58113883$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.4.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.3.4.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sqrt{2 (- (0) + 1)}}{2} \geq - 1$

Étape 4.3.4.6.2.3

Le côté gauche $0.70710678$ est supérieur au côté droit $- 1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.4.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.3.4.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sqrt{2 (- (4) + 1)}}{2} \geq - 1$

Étape 4.3.4.6.3.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.3.4.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 4.3.4.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - 1$ ou $- 1 \leq x \leq 1$

Étape 4.3.4.8

Associez les intervalles.

$x \leq 1$

Étape 4.3.5

Définissez l’argument dans $\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})$ inférieur ou égal à $1$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \leq 1$

Étape 4.3.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Étape 4.3.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2} \cdot 2 \leq 1 \cdot 2$

Étape 4.3.6.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 (- x + 1)} \leq 1 \cdot 2$

Étape 4.3.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.2.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sqrt{2 (- x + 1)} \leq 2$

Étape 4.3.6.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{2 (- x + 1)}}^{2} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (- x + 1)}$ comme ${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1

Simplifiez ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 (- x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 (- x + 1))}^{1} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 (- x) + 2 \cdot 1)}^{1} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2.1.3

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(- 2 x + 2 \cdot 1)}^{1} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2.1.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.2.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

${(- 2 x + 2)}^{1} \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.2.1.3.2.2

Simplifiez

$- 2 x + 2 \leq 2^{2}$

Étape 4.3.6.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 x + 2 \leq 4$

Étape 4.3.6.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.3.1.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$- 2 x \leq 4 - 2$

Étape 4.3.6.3.3.1.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- 2 x \leq 2$

Étape 4.3.6.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x \leq 2$ par $- 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x \leq 2$ par $- 2$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{2}{- 2}$

Étape 4.3.6.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} \geq \frac{2}{- 2}$

Étape 4.3.6.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 2}$

Étape 4.3.6.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.3.3.2.3.1

Divisez $2$ par $- 2$ .

$x \geq - 1$

Étape 4.3.6.4

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{2 (- x + 1)} - 2}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (- x + 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (- x + 1) \geq 0$

Étape 4.3.6.4.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 1) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 1) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.6.4.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x + 1)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.6.4.2.1.2.1.2

Divisez $- x + 1$ par $1$ .

$- x + 1 \geq \frac{0}{2}$

Étape 4.3.6.4.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$- x + 1 \geq 0$

Étape 4.3.6.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 1$

Étape 4.3.6.4.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.6.4.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.6.4.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.3.6.4.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.4.2.3.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x \leq 1$

Étape 4.3.6.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1]$

Étape 4.3.6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 4.3.6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 4.3.6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sqrt{2 (- (- 4) + 1)}}{2} \leq 1$

Étape 4.3.6.6.1.3

Le côté gauche $1.58113883$ est supérieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.3.6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.3.6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sqrt{2 (- (0) + 1)}}{2} \leq 1$

Étape 4.3.6.6.2.3

Le côté gauche $0.70710678$ est inférieur au côté droit $1$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.3.6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 4.3.6.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sqrt{2 (- (4) + 1)}}{2} \leq 1$

Étape 4.3.6.6.3.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.3.6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 4.3.6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 4.3.7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, 1]$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\arcsin (\frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}, \frac{\arcsin (- \frac{\sqrt{2 (- x + 1)}}{2})}{6}$ n’est pas un inverse de $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} (6 x)$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5