Trigonométrie Exemples

$y = 1 + 2 \arctan (x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 1 + 2 \arctan (y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $1 + 2 \arctan (y) = x$ .

$1 + 2 \arctan (y) = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \arctan (y) = x - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 \arctan (y) = x - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 \arctan (y) = x - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \arctan (y)}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\arctan (y)$ par $1$ .

$\arctan (y) = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\arctan (y) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ est l’inverse de $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x)}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{1 + 2 \arctan (x) - 1}{2})$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $1 + 2 \arctan (x) - 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x) + 0}{2})$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $2 \arctan (x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\frac{2 \arctan (x)}{2})$

Étape 4.2.5.2

Divisez $\arctan (x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = \tan (\arctan (x))$

Étape 4.2.6

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f^{- 1} (1 + 2 \arctan (x)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})) = 1 + 2 \arctan (\tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2}))$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ est l’inverse de $f (x) = 1 + 2 \arctan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$