Trigonométrie Exemples

$y = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 3 \sin (\frac{1}{2} y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ .

$- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \sin (\frac{1}{2} y) = x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} y)}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{1}{2} y)$ par $1$ .

$\sin (\frac{1}{2} y) = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (\frac{1}{2} y) = - \frac{x}{3}$

Étape 2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{1}{2} y = \arcsin (- \frac{x}{3})$

Étape 2.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$\frac{y}{2} = \arcsin (- \frac{x}{3})$

Étape 2.5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Étape 2.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Étape 2.6.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ est l’inverse de $f (x) = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{- 3 \sin (\frac{1}{2} x)}{3})$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3})$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3 (1)})$

Étape 4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{3 (- \sin (\frac{1}{2} x))}{3 \cdot 1})$

Étape 4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (- \frac{- \sin (\frac{1}{2} x)}{1})$

Étape 4.2.3.2.4

Divisez $- \sin (\frac{1}{2} x)$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{1}{2} x))$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$f^{- 1} (- 3 \sin (\frac{1}{2} x)) = 2 \arcsin (\sin (\frac{x}{2}))$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (2 \arcsin (- \frac{x}{3}))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (- \frac{x}{3})))$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (- \frac{x}{3}))))$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (- \frac{x}{3})))$

Étape 4.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \sin (\arcsin (- \frac{x}{3}))$

Étape 4.3.4

Les fonctions sinus et arc sinus sont inverses.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 (- \frac{x}{3})$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{3}$ dans le numérateur.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 3 \frac{- x}{3}$

Étape 4.3.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 3 (- 1) (\frac{- x}{3})$

Étape 4.3.5.3

Annulez le facteur commun.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 3 \cdot (- 1 \frac{- x}{3})$

Étape 4.3.5.4

Réécrivez l’expression.

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = - 1 (- x)$

Étape 4.3.6

Multipliez.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = 1 x$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (2 \arcsin (- \frac{x}{3})) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$ est l’inverse de $f (x) = - 3 \sin (\frac{1}{2} x)$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \arcsin (- \frac{x}{3})$