Trigonométrie Exemples

$y = - 3 x^{3}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = - 3 y^{3}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 y^{3} = x$ .

$- 3 y^{3} = x$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{3} = x$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{3} = x$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y^{3}}{- 3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{x}{3}$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$

Étape 2.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{x}{3}}$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $- \frac{x}{3}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}$ .

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Étape 2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x}{3}}$

Étape 2.4.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{3}}$

Étape 2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

Étape 2.4.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x}{3}}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x}{3}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$

Étape 2.4.5

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Étape 2.4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Élevez $\sqrt[3]{3}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Étape 2.4.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Étape 2.4.6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Étape 2.4.6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ comme $3$ .

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Étape 2.4.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3}$ comme $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 2.4.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 2.4.6.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.4.6.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Étape 2.4.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Étape 2.4.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Étape 2.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.7.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Étape 2.4.7.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{9}}{3}$

Étape 2.4.8

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$

Étape 2.4.8.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 9}}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = - 3 x^{3}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 3 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{9 (- 3 x^{3})}}{3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{- 27 x^{3}}}{3}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $- 27 x^{3}$ comme ${(- 3 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 3 x)}^{3}}}{3}$

Étape 4.2.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- 3 x}{3}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3}$

Étape 4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 (1)}$

Étape 4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{3 (- x)}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = - \frac{- x}{1}$

Étape 4.2.4.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 3 x^{3}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 {(- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3})}^{3})$

Étape 4.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}}))$

Étape 4.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{\sqrt[3]{9 x}}^{3}}{3^{3}})$

Étape 4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{9 x}}^{3}$ comme $9 x$ .

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Étape 4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{9 x}$ comme ${(9 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{({(9 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}})$

Étape 4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}})$

Étape 4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

Étape 4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{{(9 x)}^{\frac{3}{3}}}{3^{3}})$

Étape 4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

Étape 4.3.5.5

Simplifiez

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{3^{3}})$

Étape 4.3.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 (- \frac{9 x}{27})$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{9 x}{27}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 3 \frac{- 9 x}{27}$

Étape 4.3.7.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 (- 1) (\frac{- 9 x}{27})$

Étape 4.3.7.3

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

Étape 4.3.7.4

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 3 \cdot (- 1 \frac{- 9 x}{3 \cdot 9})$

Étape 4.3.7.5

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- 9 x}{9}$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 4.3.8.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9 x$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9}$

Étape 4.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.8.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 (1)}$

Étape 4.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{9 (- x)}{9 \cdot 1}$

Étape 4.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Étape 4.3.8.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = - 1 (- x)$

Étape 4.3.9

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 4.3.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = 1 x$

Étape 4.3.9.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$ est l’inverse de $f (x) = - 3 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{9 x}}{3}$