Trigonométrie Exemples

$y = 3 - \sqrt{x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = 3 - \sqrt{y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $3 - \sqrt{y - 1} = x$ .

$3 - \sqrt{y - 1} = x$

Étape 2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{y - 1} = x - 3$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y - 1}$ comme ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${(- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 1)}^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.5

Simplifiez

$y - 1 = {(x - 3)}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x - 3)}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 1 = (x - 3) (x - 3)$

Étape 2.4.3.1.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Étape 2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Étape 2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y - 1 = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 2.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y - 1 = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Étape 2.4.3.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$y - 1 = x^{2} - 6 x + 9$

Étape 2.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{2} - 6 x + 9 + 1$

Étape 2.5.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$y = x^{2} - 6 x + 10$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ est l’inverse de $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = {(3 - \sqrt{x - 1})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez ${(3 - \sqrt{x - 1})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = (3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.2

Développez $(3 - \sqrt{x - 1}) (3 - \sqrt{x - 1})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 (3 - \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} (3 - \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 + 3 (- \sqrt{x - 1}) - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} \cdot 3 - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1}) - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{x - 1} (- \sqrt{x - 1})$ .

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Étape 4.2.3.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + 1 \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{x - 1}$ par $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{x - 1}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{1 + 1} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {\sqrt{x - 1}}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ comme $x - 1$ .

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Étape 4.2.3.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 9 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 1 - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 3 \sqrt{x - 1} - 3 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.3.3

Soustrayez $3 \sqrt{x - 1}$ de $- 3 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 (3 - \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 6 \cdot 3 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.5

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 - 6 (- \sqrt{x - 1}) + 10$

Étape 4.2.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $8 - 6 \sqrt{x - 1} + x - 18 + 6 \sqrt{x - 1} + 10$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Additionnez $- 6 \sqrt{x - 1}$ et $6 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 0 + 10$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $8 + x - 18$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = 8 + x - 18 + 10$

Étape 4.2.4.2

Soustrayez $18$ de $8$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x - 10 + 10$

Étape 4.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 10 + 10$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (3 - \sqrt{x - 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (x^{2} - 6 x + 10)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{(x^{2} - 6 x + 10) - 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $10$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 9}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.3.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 6 x + 3^{2}}$

Étape 4.3.3.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}$

Étape 4.3.3.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - \sqrt{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 4.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - (x - 3)$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = 3 - x + 3$

Étape 4.3.4

Additionnez $3$ et $3$ .

$f (x^{2} - 6 x + 10) = - x + 6$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$ est l’inverse de $f (x) = 3 - \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 6 x + 10$