Trigonométrie Exemples

$y = \sqrt{7 x + 4}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{7 y + 4}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{7 y + 4} = x$ .

$\sqrt{7 y + 4} = x$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{7 y + 4}}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 y + 4}$ comme ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(7 y + 4)}^{1} = x^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$7 y + 4 = x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$7 y = x^{2} - 4$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $7 y = x^{2} - 4$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $7 y = x^{2} - 4$ par $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 y}{7} = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{7} + \frac{- 4}{7}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{7 x + 4}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(\sqrt{7 x + 4})}^{2}}{7} - \frac{4}{7}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(\sqrt{7 x + 4})}^{2} - 4}{7}$

Étape 4.2.4

Réécrivez ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ comme $7 x + 4$ .

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Étape 4.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x + 4}$ comme ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4}{7}$

Étape 4.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4}{7}$

Étape 4.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 4}{7}$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 4}{7}$

Étape 4.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{(7 x + 4) - 4}{7}$

Étape 4.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x + 4 - 4}{7}$

Étape 4.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.5.1

Associez les termes opposés dans $7 x + 4 - 4$ .

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Étape 4.2.5.1.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Étape 4.2.5.1.2

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = \frac{7 x}{7}$

Étape 4.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 x + 4}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) + 4}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7}) + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (- \frac{4}{7}) + 4}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 4.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{7}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}$

Étape 4.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 7 (\frac{- 4}{7}) + 4}$

Étape 4.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} - 4 + 4}$

Étape 4.3.6

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.3.6.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Étape 4.3.6.2

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 4.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{7} - \frac{4}{7}$