Trigonométrie Exemples

$y = \csc (3 x) - 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \csc (3 y) - 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\csc (3 y) - 1 = x$ .

$\csc (3 y) - 1 = x$

Étape 2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc (3 y) = x + 1$

Étape 2.3

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cosécante.

$3 y = arccsc (x + 1)$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $3 y = arccsc (x + 1)$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = arccsc (x + 1)$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\csc (3 x) - 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc ((\csc (3 x) - 1) + 1)}{3}$

Étape 4.2.3

Associez les termes opposés dans $\csc (3 x) - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x) + 0)}{3}$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $\csc (3 x)$ et $0$ .

$f^{- 1} (\csc (3 x) - 1) = \frac{arccsc (\csc (3 x))}{3}$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{arccsc (x + 1)}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (3 (\frac{arccsc (x + 1)}{3})) - 1$

Étape 4.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = \csc (arccsc (x + 1)) - 1$

Étape 4.3.3.2

Les fonctions cosécante et arc cosécante sont inverses.

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 1 - 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{arccsc (x + 1)}{3}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \csc (3 x) - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{arccsc (x + 1)}{3}$