Trigonométrie Exemples

y = cos (h (x)) - sin (h (x))

$y = \cos (h (x)) - \sin (h (x))$

Étape 1

Interchangez les variables.

h = cos (y (x)) - sin (y (x))

$h = \cos (y (x)) - \sin (y (x))$

Étape 2

Résolvez

y

$y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme

cos (y x) - sin (y x) = h

$\cos (y x) - \sin (y x) = h$ .

cos (y x) - sin (y x) = h

$\cos (y x) - \sin (y x) = h$

Étape 2.2

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité,

θ

$θ$ représente l’angle créé en reportant le point

(a, b)

$(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant

θ = {tan}^{-1} (\frac{b}{a})

$θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

a sin (x) + b cos (x) = R sin (x + θ)

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où

R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et

θ = {tan}^{-1} (\frac{b}{a})

$θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 2.3

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de

θ

$θ$ .

{tan}^{-1} (\frac{1}{- 1})

$\tan^{-1} (\frac{1}{- 1})$

Étape 2.4

Prenez la tangente inverse pour résoudre l’équation pour

θ

$θ$ .

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Étape 2.4.1

Divisez

1

$1$ par

- 1

$- 1$ .

θ = {tan}^{-1} (- 1)

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Étape 2.4.2

La valeur exacte de

{tan}^{-1} (- 1)

$\tan^{-1} (- 1)$ est

- \frac{π}{4}

$- \frac{π}{4}$ .

θ = - \frac{π}{4}

$θ = - \frac{π}{4}$

θ = - \frac{π}{4}

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 2.5

Résolvez pour déterminer la valeur de

R

$R$ .

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Étape 2.5.1

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

2

$2$ .

R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

R = \sqrt{1 + 1}

$R = \sqrt{1 + 1}$

Étape 2.5.3

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

R = \sqrt{2}

$R = \sqrt{2}$

R = \sqrt{2}

$R = \sqrt{2}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

(\sqrt{2}) sin (y x - \frac{π}{4}) = h

$(\sqrt{2}) \sin (y x - \frac{π}{4}) = h$

Étape 2.7

Divisez chaque terme dans

\sqrt{2} sin (y x - \frac{π}{4}) = h

$\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4}) = h$ par

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 2.7.1

Divisez chaque terme dans

\sqrt{2} sin (y x - \frac{π}{4}) = h

$\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4}) = h$ par

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

\frac{\sqrt{2} sin (y x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{\sqrt{2} sin (y x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2} \sin (y x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{h}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.2.1.2

Divisez

sin (y x - \frac{π}{4})

$\sin (y x - \frac{π}{4})$ par

1

$1$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}$

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}$

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez

\frac{h}{\sqrt{2}}

$\frac{h}{\sqrt{2}}$ par

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.3.2.1

Multipliez

\frac{h}{\sqrt{2}}

$\frac{h}{\sqrt{2}}$ par

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.7.3.2.2

Élevez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ à la puissance

1

$1$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.7.3.2.3

Élevez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ à la puissance

1

$1$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.7.3.2.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.7.3.2.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.7.3.2.6

Réécrivez

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

2

$2$ .

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Étape 2.7.3.2.6.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ comme

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.7.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.7.3.2.6.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.7.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.7.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{1}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{1}}$

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{1}}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.7.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2}$

sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2}

$\sin (y x - \frac{π}{4}) = \frac{h \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.8

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$y$ de l’intérieur du sinus.

$y x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.9

Ajoutez

$\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$y x = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$

Étape 2.10

Divisez chaque terme dans

$y x = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ par

$x$ et simplifiez.

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Étape 2.10.1

Divisez chaque terme dans

$y x = \sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}$ par

$x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{\frac{π}{4}}{x}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.10.2.1

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 2.10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x}{x} = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{\frac{π}{4}}{x}$

Étape 2.10.2.1.2

Divisez

$y$ par

$1$ .

$y = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{\frac{π}{4}}{x}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.10.3.1.2

Multipliez

$\frac{π}{4}$ par

$\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

Étape 3

Remplacez

$y$ par

$f^{- 1} (h)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

Étape 4

Vérifiez si

$f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$ est l’inverse de

$f (h) = \cos (h (x)) - \sin (h (x))$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si

$f^{- 1} (f (h)) = h$ et

$f (f^{- 1} (h)) = h$ .

Étape 4.2

Évaluez

$f^{- 1} (f (h))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (h))$

Étape 4.2.2

Évaluez

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x)))$ en remplaçant la valeur de

$f$ par

$f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x))) = \frac{\sin^{-1} (\frac{(\cos (h (x)) - \sin (h (x))) \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

Étape 4.2.3

Multipliez

$h$ par

$x$ .

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x))) = \frac{\sin^{-1} (\frac{(\cos (h x) - \sin (h x)) \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

Étape 4.2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$\frac{\sin^{-1} (\frac{(\cos (h x) - \sin (h x)) \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$ .

$f^{- 1} (\cos (h (x)) - \sin (h (x))) = \frac{\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2} (\cos (h x) - \sin (h x))}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$

Étape 4.3

Évaluez

$f (f^{- 1} (h))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (h))$

Étape 4.3.2

Évaluez

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x})$ en remplaçant la valeur de

$f^{- 1}$ par

$f$ .

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x)) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} \cdot x + \frac{π}{4 x} \cdot x) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

Étape 4.3.3.2

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4 x} \cdot x) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

Étape 4.3.3.3

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Factorisez

$x$ à partir de

$4 x$ .

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{x \cdot 4} \cdot x) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

Étape 4.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin ((\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) (x))$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} \cdot x + \frac{π}{4 x} \cdot x)$

Étape 4.3.3.5

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 4.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.3.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4 x} \cdot x)$

Étape 4.3.3.6

Annulez le facteur commun de

$x$ .

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Étape 4.3.3.6.1

Factorisez

$x$ à partir de

$4 x$ .

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{x \cdot 4} \cdot x)$

Étape 4.3.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{x \cdot 4} \cdot x)$

Étape 4.3.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}) = \cos (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4}) - \sin (\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2}) + \frac{π}{4})$

Étape 4.4

Comme

$f^{- 1} (f (h)) = h$ et

$f (f^{- 1} (h)) = h$ ,

$f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$ est l’inverse de

$f (h) = \cos (h (x)) - \sin (h (x))$ .

$f^{- 1} (h) = \frac{\sin^{-1} (\frac{h \sqrt{2}}{2})}{x} + \frac{π}{4 x}$