Trigonométrie Exemples

$y = \arcsin (5 - 3 x^{2})$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \arcsin (5 - 3 y^{2})$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$ .

$\arcsin (5 - 3 y^{2}) = x$

Étape 2.2

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$5 - 3 y^{2} = \sin (x)$

Étape 2.3

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- 3 y^{2} = \sin (x) - 5$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 y^{2}}{- 3} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{\sin (x)}{- 3} + \frac{- 5}{- 3}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{- 5}{- 3}$

Étape 2.4.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}$

Étape 2.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

$y = - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ est l’inverse de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Étape 4.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ et $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ puis comparez-les.

Étape 4.2

Déterminez la plage de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

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Étape 4.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ .

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Étape 4.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3} \geq 0$

Étape 4.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $\frac{5}{3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{\sin (x)}{3} \geq - \frac{5}{3}$

Étape 4.3.2.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- \sin (x) \geq - 5$

Étape 4.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) \geq - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) \geq - 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- \sin (x)}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 4.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$\sin (x) \leq 5$

Étape 4.3.2.4

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $5$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}, - \sqrt{- \frac{\sin (x)}{3} + \frac{5}{3}}$ n’est pas un inverse de $f (x) = \arcsin (5 - 3 x^{2})$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 5